初级微积分示例

$\frac{\sin (a)}{1 - \cot (a)} - \frac{\cos (a)}{\tan (a) - 1}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

将 $\cot (a)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} - \frac{\cos (a)}{\tan (a) - 1}$

解题步骤 1.2

将 $\tan (a)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$

解题步骤 2

要将 $\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ 。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ 。

$\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\sin (a)}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ 乘以 $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ 。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1} \cdot \frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{\cos (a)}{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1}$ 乘以 $\frac{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ 。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ 的因式。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)} - \frac{\cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{\sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.2

乘以 $\sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 。

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解题步骤 6.2.1

组合 $\sin (a)$ 和 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 。

$\frac{\frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.2.2

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sin^{1} (a) \sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.2.3

对 $\sin (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{\sin (a)}^{1 + 1}}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1 - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 移到 $\sin (a)$ 的左侧。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - 1 \cdot \sin (a) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.4

将 $- 1 \sin (a)$ 重写为 $- \sin (a)$ 。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) (1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.7

乘以 $- \cos (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.7.2

将 $\cos (a)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.7.3

组合 $\cos (a)$ 和 $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ 。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.7.4

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.7.5

对 $\cos (a)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.7.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{{\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 6.7.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

从 $\sin^{2} (a)$ 中分解出因数 $\sin (a)$ 。

$\frac{\frac{\sin (a) \sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7.2

分离分数。

$\frac{\frac{\sin (a)}{1} \cdot \frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7.3

将 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 转换成 $\tan (a)$ 。

$\frac{\frac{\sin (a)}{1} \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7.4

用 $\sin (a)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos^{2} (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7.5

从 $\cos^{2} (a)$ 中分解出因数 $\cos (a)$ 。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a) \cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7.6

分离分数。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a)}{1} \cdot \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7.7

将 $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ 转换成 $\cot (a)$ 。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \frac{\cos (a)}{1} \cot (a)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 7.8

用 $\cos (a)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ 转换成 $\cot (a)$ 。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \cot (a)) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - 1)}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ 转换成 $\tan (a)$ 。

$\frac{\sin (a) \tan (a) - \sin (a) - \cos (a) + \cos (a) \cot (a)}{(1 - \cot (a)) (\tan (a) - 1)}$

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