初级微积分示例

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

解题步骤 1

将 $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ 中的每一项除以 $\sec (\frac{θ}{2})$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ 中的每一项都除以 $\sec (\frac{θ}{2})$ 。

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $\sec (\frac{θ}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

将 $\sec (\frac{θ}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

解题步骤 1.3.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ 。

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

解题步骤 1.3.3

化简。

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解题步骤 1.3.3.1

对 $\cos (\frac{θ}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

解题步骤 1.3.3.2

对 $\cos (\frac{θ}{2})$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

解题步骤 2

将方程重写为 $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ 。

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

解题步骤 7

在 $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{θ}{2} = 0$

解题步骤 7.3

将分子设为等于零。

$θ = 0$

解题步骤 7.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

解题步骤 7.5

求解 $θ$ 。

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解题步骤 7.5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

解题步骤 7.5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

解题步骤 7.5.2.1.1.2

重写表达式。

$θ = 2 (2 π - 0)$

解题步骤 7.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.5.2.2.1

化简 $2 (2 π - 0)$ 。

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解题步骤 7.5.2.2.1.1

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$θ = 2 (2 π)$

解题步骤 7.5.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$θ = 4 π$

解题步骤 7.6

求 $\cos (\frac{θ}{2})$ 的周期。

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解题步骤 7.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.6.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 7.6.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.6.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 7.6.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 7.7

$\cos (\frac{θ}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$\frac{θ}{2} = π$

解题步骤 8.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

解题步骤 8.4

化简左边。

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解题步骤 8.4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1.1

约去公因数。

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

解题步骤 8.4.1.2

重写表达式。

$θ = 2 π$

解题步骤 8.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

解题步骤 8.6

求解 $θ$ 。

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解题步骤 8.6.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

解题步骤 8.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 8.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.6.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

解题步骤 8.6.2.1.1.2

重写表达式。

$θ = 2 (2 π - π)$

解题步骤 8.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.6.2.2.1

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = 2 π$

解题步骤 8.7

求 $\cos (\frac{θ}{2})$ 的周期。

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解题步骤 8.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 8.7.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 8.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 8.7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 8.8

$\cos (\frac{θ}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并答案。

$θ = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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