初级微积分示例

$\frac{x^{4} + x^{2} + 1}{x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{F x + G}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2}$ 。

$\frac{(x^{4} + x^{2} + 1) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{A (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{(x^{4} + x^{2} + 1) ({(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{A (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.5

约去 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x^{4} + x^{2} + 1) {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{A (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.5.2

用 $x^{4} + x^{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = \frac{A (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

解题步骤 1.6.1.2

用 $A ({(x^{2} + 6)}^{2})$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A ({(x^{2} + 6)}^{2}) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.2

将 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A ((x^{2} + 6) (x^{2} + 6)) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ 。

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解题步骤 1.6.3.1

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{2} (x^{2} + 6) + 6 (x^{2} + 6)) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.3.2

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 (x^{2} + 6)) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.3.3

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{4} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.4.1.2

将 $6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{4} + 6 \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot 6) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.4.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 36) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.4.2

将 $6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A (x^{4} + 12 x^{2} + 36) + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.5

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + A (12 x^{2}) + A \cdot 36 + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.6

化简。

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解题步骤 1.6.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + A \cdot 36 + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.6.2

将 $36$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 \cdot A + \frac{B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.7

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.7.1

从 $B (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + \frac{x (B (x {(x^{2} + 6)}^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 1.6.7.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + \frac{x (B (x {(x^{2} + 6)}^{2}))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.7.2.3

约去公因数。

解题步骤 1.6.7.2.4

重写表达式。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + \frac{B (x {(x^{2} + 6)}^{2})}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.7.2.5

用 $B (x {(x^{2} + 6)}^{2})$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x {(x^{2} + 6)}^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.8

将 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x ((x^{2} + 6) (x^{2} + 6))) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.9

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6)$ 。

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解题步骤 1.6.9.1

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{2} (x^{2} + 6) + 6 (x^{2} + 6))) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.9.2

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 (x^{2} + 6))) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.9.3

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6)) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.10.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.10.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.10.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6)) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.10.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{4} + x^{2} \cdot 6 + 6 x^{2} + 6 \cdot 6)) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.10.1.2

将 $6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{4} + 6 \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 6 \cdot 6)) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.10.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 36)) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.10.2

将 $6 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x (x^{4} + 12 x^{2} + 36)) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.11

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x \cdot x^{4} + x (12 x^{2}) + x \cdot 36) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.12

化简。

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解题步骤 1.6.12.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.6.12.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.6.12.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 1.6.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{1 + 4} + x (12 x^{2}) + x \cdot 36) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.12.1.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{5} + x (12 x^{2}) + x \cdot 36) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.12.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{5} + 12 x \cdot x^{2} + x \cdot 36) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.12.3

将 $36$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{5} + 12 x \cdot x^{2} + 36 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.13

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.13.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{5} + 12 (x^{2} x) + 36 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.13.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.13.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 1.6.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{5} + 12 x^{2 + 1} + 36 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.13.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{5} + 12 x^{3} + 36 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B (x^{5} + 12 x^{3} + 36 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.14

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + B (12 x^{3}) + B (36 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.15

化简。

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解题步骤 1.6.15.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + B (36 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.15.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.16

约去 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.16.1

约去公因数。

解题步骤 1.6.16.2

用 $(C x + D) (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + (C x + D) (x^{2}) + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.17

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.18

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.18.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C (x^{2} x) + D x^{2} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.18.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.18.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C (x^{2} x) + D x^{2} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.18.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.18.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + \frac{(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.19

约去 ${(x^{2} + 6)}^{2}$ 和 $x^{2} + 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.19.1

从 $(F x + G) (x^{2} {(x^{2} + 6)}^{2})$ 中分解出因数 $x^{2} + 6$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + \frac{(x^{2} + 6) ((F x + G) (x^{2} (x^{2} + 6)))}{x^{2} + 6}$

解题步骤 1.6.19.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.19.2.1

乘以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + \frac{(x^{2} + 6) ((F x + G) (x^{2} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.19.2.2

约去公因数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + \frac{(x^{2} + 6) ((F x + G) (x^{2} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.19.2.3

重写表达式。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + \frac{(F x + G) (x^{2} (x^{2} + 6))}{1}$

解题步骤 1.6.19.2.4

用 $(F x + G) (x^{2} (x^{2} + 6))$ 除以 $1$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) (x^{2} (x^{2} + 6))$

解题步骤 1.6.20

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 6)$

解题步骤 1.6.21

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.21.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 6)$

解题步骤 1.6.21.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) (x^{4} + x^{2} \cdot 6)$

解题步骤 1.6.22

将 $6$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + (F x + G) (x^{4} + 6 \cdot x^{2})$

解题步骤 1.6.23

使用 FOIL 方法展开 $(F x + G) (x^{4} + 6 x^{2})$ 。

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解题步骤 1.6.23.1

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x (x^{4} + 6 x^{2}) + G (x^{4} + 6 x^{2})$

解题步骤 1.6.23.2

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x \cdot x^{4} + F x (6 x^{2}) + G (x^{4} + 6 x^{2})$

解题步骤 1.6.23.3

运用分配律。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x \cdot x^{4} + F x (6 x^{2}) + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24

化简每一项。

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解题步骤 1.6.24.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.6.24.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F (x^{4} x) + F x (6 x^{2}) + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.1.2

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.24.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F (x^{4} x) + F x (6 x^{2}) + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{4 + 1} + F x (6 x^{2}) + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.1.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + F x (6 x^{2}) + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x \cdot x^{2} + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.24.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F (x^{2} x) + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.24.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F (x^{2} x) + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{2 + 1} + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{3} + G x^{4} + G (6 x^{2})$

解题步骤 1.6.24.4

使用乘法的交换性质重写。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 A x^{2} + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{3} + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

移动 $A$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{3} + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7.2

将 $B$ 和 $x^{5}$ 重新排序。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 B x^{3} + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{3} + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7.3

移动 $B$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 x^{3} B + 36 B x + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{3} + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7.4

移动 $B$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 x^{3} B + 36 x B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{3} + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7.5

将 $F$ 和 $x^{5}$ 重新排序。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 x^{3} B + 36 x B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 F x^{3} + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7.6

移动 $F$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 x^{3} B + 36 x B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 x^{3} F + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7.7

将 $G$ 和 $x^{4}$ 重新排序。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 x^{3} B + 36 x B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 x^{3} F + G x^{4} + 6 G x^{2}$

解题步骤 1.7.8

移动 $G$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + 36 A + B x^{5} + 12 x^{3} B + 36 x B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 x^{3} F + G x^{4} + 6 x^{2} G$

解题步骤 1.7.9

移动 $36 A$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + B x^{5} + 12 x^{3} B + 36 x B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 x^{3} F + G x^{4} + 6 x^{2} G + 36 A$

解题步骤 1.7.10

移动 $36 x B$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + B x^{5} + 12 x^{3} B + C x^{3} + D x^{2} + F x^{5} + 6 x^{3} F + G x^{4} + 6 x^{2} G + 36 x B + 36 A$

解题步骤 1.7.11

移动 $D x^{2}$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + 12 x^{2} A + B x^{5} + 12 x^{3} B + C x^{3} + F x^{5} + 6 x^{3} F + G x^{4} + D x^{2} + 6 x^{2} G + 36 x B + 36 A$

解题步骤 1.7.12

移动 $12 x^{2} A$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + B x^{5} + 12 x^{3} B + C x^{3} + F x^{5} + 6 x^{3} F + G x^{4} + 12 x^{2} A + D x^{2} + 6 x^{2} G + 36 x B + 36 A$

解题步骤 1.7.13

移动 $6 x^{3} F$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + B x^{5} + 12 x^{3} B + C x^{3} + F x^{5} + G x^{4} + 6 x^{3} F + 12 x^{2} A + D x^{2} + 6 x^{2} G + 36 x B + 36 A$

解题步骤 1.7.14

移动 $C x^{3}$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + B x^{5} + 12 x^{3} B + F x^{5} + G x^{4} + C x^{3} + 6 x^{3} F + 12 x^{2} A + D x^{2} + 6 x^{2} G + 36 x B + 36 A$

解题步骤 1.7.15

移动 $12 x^{3} B$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = A x^{4} + B x^{5} + F x^{5} + G x^{4} + 12 x^{3} B + C x^{3} + 6 x^{3} F + 12 x^{2} A + D x^{2} + 6 x^{2} G + 36 x B + 36 A$

解题步骤 1.7.16

移动 $A x^{4}$ 。

$x^{4} + x^{2} + 1 = B x^{5} + F x^{5} + A x^{4} + G x^{4} + 12 x^{3} B + C x^{3} + 6 x^{3} F + 12 x^{2} A + D x^{2} + 6 x^{2} G + 36 x B + 36 A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{5}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = B + F$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x^{4}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + G$

解题步骤 2.3

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 12 B + C + 6 F$

解题步骤 2.4

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 2.5

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 36 B$

解题步骤 2.6

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = 36 A$

解题步骤 2.7

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$0 = 36 B$

$1 = 36 A$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$0 = 36 B$

$1 = 36 A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = 36 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $36 B = 0$ 。

$36 B = 0$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.1.2

将 $36 B = 0$ 中的每一项除以 $36$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $36 B = 0$ 中的每一项都除以 $36$ 。

$\frac{36 B}{36} = \frac{0}{36}$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $36$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{36 B}{36} = \frac{0}{36}$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{0}{36}$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$B = \frac{0}{36}$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$B = \frac{0}{36}$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用 $0$ 除以 $36$ 。

$B = 0$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$B = 0$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$B = 0$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$B = 0$

$0 = B + F$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $0$ 替换 $0 = B + F$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = (0) + F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $0$ 和 $F$ 相加。

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$0 = 12 B + C + 6 F$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.2.3

使用 $0$ 替换 $0 = 12 B + C + 6 F$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = 12 (0) + C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

化简 $12 (0) + C + 6 F$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 = 0 + C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = 36 A$

解题步骤 3.2.5

将方程重写为 $36 A = 1$ 。

$36 A = 1$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 3.2.6

将 $36 A = 1$ 中的每一项除以 $36$ 并化简。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $36 A = 1$ 中的每一项都除以 $36$ 。

$\frac{36 A}{36} = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 3.2.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.6.2.1

约去 $36$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{36 A}{36} = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 3.2.6.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$0 = F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{36}$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $F = 0$ 。

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$1 = A + G$

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 3.3.2

使用 $\frac{1}{36}$ 替换 $1 = A + G$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = (\frac{1}{36}) + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

去掉圆括号。

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$1 = 12 A + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$1 = 12 A + D + 6 G$

解题步骤 3.3.4

使用 $\frac{1}{36}$ 替换 $1 = 12 A + D + 6 G$ 中所有出现的 $A$ .

$1 = 12 (\frac{1}{36}) + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.3.5

化简右边。

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解题步骤 3.3.5.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $12$ 。

$1 = 12 (\frac{1}{12 (3)}) + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.3.5.1.2

约去公因数。

$1 = 12 (\frac{1}{12 \cdot 3}) + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.3.5.1.3

重写表达式。

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$1 = \frac{1}{36} + G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $F$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $\frac{1}{36} + G = 1$ 。

$\frac{1}{36} + G = 1$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.4.2

将所有不包含 $G$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.4.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{36}$ 。

$G = 1 - \frac{1}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.4.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$G = \frac{36}{36} - \frac{1}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.4.2.3

在公分母上合并分子。

$G = \frac{36 - 1}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.4.2.4

从 $36$ 中减去 $1$ 。

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$0 = C + 6 F$

$B = 0$

解题步骤 3.4.3

使用 $0$ 替换 $0 = C + 6 F$ 中所有出现的 $F$ .

$0 = C + 6 (0)$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.4.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.1

化简 $C + 6 (0)$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 = C + 0$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.4.4.1.2

将 $C$ 和 $0$ 相加。

$0 = C$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$0 = C$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$0 = C$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$0 = C$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5

将每个方程中所有出现的 $G$ 替换成 $\frac{35}{36}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $C = 0$ 。

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.2

使用 $\frac{35}{36}$ 替换 $1 = \frac{1}{3} + D + 6 G$ 中所有出现的 $G$ .

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 (\frac{35}{36})$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简 $\frac{1}{3} + D + 6 (\frac{35}{36})$ 。

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解题步骤 3.5.3.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1.1.1

从 $36$ 中分解出因数 $6$ 。

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 (\frac{35}{6 (6)})$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3.1.1.2

约去公因数。

$1 = \frac{1}{3} + D + 6 (\frac{35}{6 \cdot 6})$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3.1.1.3

重写表达式。

$1 = \frac{1}{3} + D + \frac{35}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$1 = \frac{1}{3} + D + \frac{35}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3.1.2

要将 $\frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 = D + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{35}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 3.5.3.1.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$1 = D + \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{35}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3.1.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$1 = D + \frac{2}{6} + \frac{35}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$1 = D + \frac{2}{6} + \frac{35}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3.1.4

在公分母上合并分子。

$1 = D + \frac{2 + 35}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.5.3.1.5

将 $2$ 和 $35$ 相加。

$1 = D + \frac{37}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$1 = D + \frac{37}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$1 = D + \frac{37}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$1 = D + \frac{37}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.6

在 $1 = D + \frac{37}{6}$ 中求解 $D$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $D + \frac{37}{6} = 1$ 。

$D + \frac{37}{6} = 1$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.6.2

将所有不包含 $D$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.6.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{37}{6}$ 。

$D = 1 - \frac{37}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.6.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$D = \frac{6}{6} - \frac{37}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.6.2.3

在公分母上合并分子。

$D = \frac{6 - 37}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.6.2.4

从 $6$ 中减去 $37$ 。

$D = \frac{- 31}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.6.2.5

将负号移到分数的前面。

$D = - \frac{31}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$D = - \frac{31}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

$D = - \frac{31}{6}$

$C = 0$

$G = \frac{35}{36}$

$F = 0$

$A = \frac{1}{36}$

$B = 0$

解题步骤 3.7

求解方程组。

$D = - \frac{31}{6} C = 0 G = \frac{35}{36} F = 0 A = \frac{1}{36} B = 0$

解题步骤 3.8

列出所有解。

$D = - \frac{31}{6}, C = 0, G = \frac{35}{36}, F = 0, A = \frac{1}{36}, B = 0$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{F x + G}{x^{2} + 6}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $F$ 和 $G$ 的值。

$\frac{\frac{1}{36}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x - \frac{31}{6}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{0 x + \frac{35}{36}}{x^{2} + 6}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{1}{36}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 - \frac{31}{6}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + \frac{35}{36}}{x^{2} + 6}$

解题步骤 5.2

从 $0$ 中减去 $\frac{31}{6}$ 。

$\frac{\frac{1}{36}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- \frac{31}{6}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + \frac{35}{36}}{x^{2} + 6}$

解题步骤 5.3

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{1}{36}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- \frac{31}{6}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{0 + \frac{35}{36}}{x^{2} + 6}$

解题步骤 5.4

将 $0$ 和 $\frac{35}{36}$ 相加。

$\frac{\frac{1}{36}}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- \frac{31}{6}}{{(x^{2} + 6)}^{2}} + \frac{\frac{35}{36}}{x^{2} + 6}$

初级微积分 示例

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