初级微积分示例

$f (t) = 330 {(1.04)}^{30 t}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算函数在 $x = t + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $t + h$ 替换变量 $t$ 。

$f (t + h) = 330 {(1.04)}^{30 (t + h)}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ 。

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - (330 \cdot {1.04}^{30 t})}{h}$

解题步骤 4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $330$ 。

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

解题步骤 4.2

以因式分解的形式重写 $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ 中分解出因数 $330$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

从 $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ 中分解出因数 $330$ 。

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

从 $- 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ 中分解出因数 $330$ 。

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})}{h}$

解题步骤 4.2.1.3

从 $330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})$ 中分解出因数 $330$ 。

$\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}$

解题步骤 4.2.2

将 ${1.04}^{30 t + 30 h}$ 重写为 ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3}$ 。

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {1.04}^{30 t})}{h}$

解题步骤 4.2.3

将 ${1.04}^{30 t}$ 重写为 ${({1.04}^{10 t})}^{3}$ 。

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {({1.04}^{10 t})}^{3})}{h}$

解题步骤 4.2.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = {1.04}^{10 t + 10 h}$ 和 $b = {1.04}^{10 t}$ 。

$\frac{330 (({1.04}^{10 t + 10 h} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

将 ${1.04}^{10 t + 10 h}$ 重写为 ${({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2}$ 。

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.2

将 ${1.04}^{10 t}$ 重写为 ${({1.04}^{5 t})}^{2}$ 。

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {({1.04}^{5 t})}^{2}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {1.04}^{5 t + 5 h}$ 和 $b = {1.04}^{5 t}$ 。

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4

通过指数相加将 ${1.04}^{10 t + 10 h}$ 乘以 ${1.04}^{10 t}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h + 10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.2

将 $10 t$ 和 $10 t$ 相加。

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 ${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{(10 t + 10 h) \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.3.1.2

运用分配律。

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{10 t \cdot 2 + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.3.1.4

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

解题步骤 4.3.2

将 ${({1.04}^{10 t})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{10 t \cdot 2})}{h}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例