初级微积分示例

$f (x) = e^{x - 3} + 2$ , $[3, 6]$

解题步骤 1

将 $f (x) = e^{x - 3} + 2$ 写为等式。

$y = e^{x - 3} + 2$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (6)$ 和 $f (3)$ 的方程 $y = e^{x - 3} + 2$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(e^{(6) - 3} + 2) - (e^{(3) - 3} + 2)}{(6) - (3)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{3 - 3} + 2)}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{0} + 2)}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{e^{3} + 2 - (1 + 2)}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{e^{3} + 2 - 1 \cdot 3}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{e^{3} + 2 - 3}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{e^{3} - 1}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.6

以因式分解的形式重写 $e^{3} - 1$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{e^{3} - 1^{3}}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.6.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e \cdot 1 + 1^{2})}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.6.3

化简。

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解题步骤 3.1.6.3.1

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1^{2})}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.6.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - (3)}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - 3}$

解题步骤 3.2.2

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{3}$

初级微积分 示例

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