初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x + h$ 和 $b = 1$ 。

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$ 。

$\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

$f (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

$f (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)} - (\sqrt{(x + 1) (x - 1)})}{h}$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 。

$\frac{\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)} - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 5

初级微积分 示例