初级微积分示例

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ 。

$65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{r (x + h) - r x}{h} = \frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - (65 x^{\frac{9}{10}})}{h}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $65$ 。

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

解题步骤 4.2

以因式分解的形式重写 $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

从 $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ 中分解出因数 $65$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ 中分解出因数 $65$ 。

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

从 $- 65 x^{\frac{9}{10}}$ 中分解出因数 $65$ 。

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})}{h}$

解题步骤 4.2.1.3

从 $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})$ 中分解出因数 $65$ 。

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{9}{10}} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ 重写为 ${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3}$ 。

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

解题步骤 4.2.3

将 $x^{\frac{9}{10}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{10}})}^{3}$ 。

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{3}{10}})}^{3})}{h}$

解题步骤 4.2.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ 和 $b = x^{\frac{3}{10}}$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{3}{10}} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5

化简。

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解题步骤 4.2.5.1

将 ${(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ 重写为 ${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3}$ 。

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $x^{\frac{3}{10}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{10}})}^{3}$ 。

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{10}})}^{3}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + h)}^{\frac{1}{10}}$ 和 $b = x^{\frac{1}{10}}$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4

化简。

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解题步骤 4.2.5.4.1

将 ${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.4.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.1.2.2

约去公因数。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.1.2.3

重写表达式。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.2

将 ${(x^{\frac{1}{10}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{10} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.4.2.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.5

将 ${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.5.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.5.2.3

重写表达式。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.2.5.6

将 ${(x^{\frac{3}{10}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.5.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

解题步骤 4.2.5.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.6.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

解题步骤 4.2.5.6.2.2

约去公因数。

解题步骤 4.2.5.6.2.3

重写表达式。

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + x^{\frac{3}{5}})}{h}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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