初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ 写为等式。

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ 。

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

解题步骤 3.2

等式两边同时乘以 $9$ 。

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

解题步骤 3.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

约去 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y^{5} - 6 = 9 x$

解题步骤 3.4

在等式两边都加上 $6$ 。

$y^{5} = 9 x + 6$

解题步骤 3.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

解题步骤 3.6

从 $9 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

从 $9 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

解题步骤 3.6.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

解题步骤 3.6.3

从 $3 (3 x) + 3 (2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ 是否为 $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

解题步骤 5.2.3

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

解题步骤 5.2.3.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

解题步骤 5.2.4

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

解题步骤 5.2.5

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

解题步骤 5.2.6

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

解题步骤 5.2.7

重新排序项。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

解题步骤 5.2.8

以因式分解的形式重写 $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.8.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

解题步骤 5.2.8.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

解题步骤 5.2.8.3

将 $x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

解题步骤 5.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{x^{5}}{3}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

解题步骤 5.2.10

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.10.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{3 x^{5}}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.10.1.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

解题步骤 5.2.10.1.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

解题步骤 5.2.10.2

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

解题步骤 5.2.11

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ 。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ 重写成 ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ 。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.2

将 ${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去 $5$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.2.1

约去公因数。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

重写表达式。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.3

运用分配律。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.6

化简。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

解题步骤 5.3.3.7

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

解题步骤 5.3.3.8

将 $9 x$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

解题步骤 5.3.4

约去 $9$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

解题步骤 5.3.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ 为 $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

初级微积分 示例

初级微积分示例