初等代数示例

$\frac{q^{2} - 11 q + 30}{4 q^{2} - 13 q^{3} - 35} \div \frac{q^{2} - 4 q - 12}{q^{2} - 3 q - 10}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{q^{2} - 11 q + 30}{4 q^{2} - 13 q^{3} - 35} \cdot \frac{q^{2} - 3 q - 10}{q^{2} - 4 q - 12}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $q^{2} - 11 q + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $30$ ，和为 $- 11$ 。

$- 6, - 5$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(q - 6) (q - 5)}{4 q^{2} - 13 q^{3} - 35} \cdot \frac{q^{2} - 3 q - 10}{q^{2} - 4 q - 12}$

解题步骤 3

重新排序项。

$\frac{(q - 6) (q - 5)}{- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35} \cdot \frac{q^{2} - 3 q - 10}{q^{2} - 4 q - 12}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $q^{2} - 3 q - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $- 3$ 。

$- 5, 2$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(q - 6) (q - 5)}{- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35} \cdot \frac{(q - 5) (q + 2)}{q^{2} - 4 q - 12}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $q^{2} - 4 q - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(q - 6) (q - 5)}{- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35} \cdot \frac{(q - 5) (q + 2)}{(q - 6) (q + 2)}$

解题步骤 6

约去 $q - 6$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{(q - 6) (q - 5)}{- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35} \cdot \frac{(q - 5) (q + 2)}{(q - 6) (q + 2)}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{q - 5}{- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35} \cdot \frac{(q - 5) (q + 2)}{q + 2}$

解题步骤 7

将 $\frac{q - 5}{- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35}$ 乘以 $\frac{(q - 5) (q + 2)}{q + 2}$ 。

$\frac{(q - 5) ((q - 5) (q + 2))}{(- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35) (q + 2)}$

解题步骤 8

对 $q - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(q - 5)}^{1} (q - 5) (q + 2)}{(- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35) (q + 2)}$

解题步骤 9

对 $q - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(q - 5)}^{1} {(q - 5)}^{1} (q + 2)}{(- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35) (q + 2)}$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(q - 5)}^{1 + 1} (q + 2)}{(- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35) (q + 2)}$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(q - 5)}^{2} (q + 2)}{(- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35) (q + 2)}$

解题步骤 12

约去 $q + 2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

约去公因数。

$\frac{{(q - 5)}^{2} (q + 2)}{(- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35) (q + 2)}$

解题步骤 12.2

重写表达式。

$\frac{{(q - 5)}^{2}}{- 13 q^{3} + 4 q^{2} - 35}$

解题步骤 13

从 $- 13 q^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(q - 5)}^{2}}{- (13 q^{3}) + 4 q^{2} - 35}$

解题步骤 14

从 $4 q^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(q - 5)}^{2}}{- (13 q^{3}) - (- 4 q^{2}) - 35}$

解题步骤 15

从 $- (13 q^{3}) - (- 4 q^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(q - 5)}^{2}}{- (13 q^{3} - 4 q^{2}) - 35}$

解题步骤 16

将 $- 35$ 重写为 $- 1 (35)$ 。

$\frac{{(q - 5)}^{2}}{- (13 q^{3} - 4 q^{2}) - 1 (35)}$

解题步骤 17

从 $- (13 q^{3} - 4 q^{2}) - 1 (35)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(q - 5)}^{2}}{- (13 q^{3} - 4 q^{2} + 35)}$

解题步骤 18

将 $- (13 q^{3} - 4 q^{2} + 35)$ 重写为 $- 1 (13 q^{3} - 4 q^{2} + 35)$ 。

$\frac{{(q - 5)}^{2}}{- 1 (13 q^{3} - 4 q^{2} + 35)}$

解题步骤 19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{{(q - 5)}^{2}}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 20

将 ${(q - 5)}^{2}$ 重写为 $(q - 5) (q - 5)$ 。

$- \frac{(q - 5) (q - 5)}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 21

使用 FOIL 方法展开 $(q - 5) (q - 5)$ 。

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解题步骤 21.1

运用分配律。

$- \frac{q (q - 5) - 5 (q - 5)}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 21.2

运用分配律。

$- \frac{q \cdot q + q \cdot - 5 - 5 (q - 5)}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 21.3

运用分配律。

$- \frac{q \cdot q + q \cdot - 5 - 5 q - 5 \cdot - 5}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 22

化简并合并同类项。

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解题步骤 22.1

化简每一项。

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解题步骤 22.1.1

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$- \frac{q^{2} + q \cdot - 5 - 5 q - 5 \cdot - 5}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 22.1.2

将 $- 5$ 移到 $q$ 的左侧。

$- \frac{q^{2} - 5 \cdot q - 5 q - 5 \cdot - 5}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 22.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{q^{2} - 5 q - 5 q + 25}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 22.2

从 $- 5 q$ 中减去 $5 q$ 。

$- \frac{q^{2} - 10 q + 25}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$

解题步骤 23

分解分数 $\frac{q^{2} - 10 q + 25}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$ 成为两个分数。

$- (\frac{q^{2} - 10 q}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35} + \frac{25}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35})$

解题步骤 24

分解分数 $\frac{q^{2} - 10 q}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35}$ 成为两个分数。

$- (\frac{q^{2}}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35} + \frac{- 10 q}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35} + \frac{25}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35})$

解题步骤 25

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{q^{2}}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35} - \frac{10 q}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35} + \frac{25}{13 q^{3} - 4 q^{2} + 35})$

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