初等代数示例

$f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ 的顶点是 $(2, 0)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\frac{x - 2}{x + 2}$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ 。

$\frac{x - 2}{x + 2} = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\frac{x - 2}{x + 2} = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

将分子设为等于零。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$y = | \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$

解题步骤 1.4

化简 $| \frac{(2) - 2}{(2) + 2} |$ 。

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解题步骤 1.4.1

约去 $(2) - 2$ 和 $(2) + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = | \frac{2 \cdot 1 - 2}{2 + 2} |$

解题步骤 1.4.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = | \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{(2) + 2} |$

解题步骤 1.4.1.3

从 $2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{(2) + 2} |$

解题步骤 1.4.1.4

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2} |$

解题步骤 1.4.1.4.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot 1 + 2 (1)} |$

解题步骤 1.4.1.4.3

从 $2 \cdot 1 + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

解题步骤 1.4.1.4.4

约去公因数。

$y = | \frac{2 \cdot (1 - 1)}{2 \cdot (1 + 1)} |$

解题步骤 1.4.1.4.5

重写表达式。

$y = | \frac{1 - 1}{1 + 1} |$

解题步骤 1.4.2

化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$y = | \frac{0}{1 + 1} |$

解题步骤 1.4.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = | \frac{0}{2} |$

解题步骤 1.4.2.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$y = | 0 |$

解题步骤 1.4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.5

绝对值顶点为 $(2, 0)$ 。

$(2, 0)$

解题步骤 2

求 $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x - 2}{x + 2}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 2}$

解题步骤 3

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 的值 $0$ 代入 $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ 。在本例中，该点为 $(0, 1)$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = | \frac{(0) - 2}{(0) + 2} |$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

约去 $(0) - 2$ 和 $(0) + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = | \frac{2 (0) - 2}{(0) + 2} |$

解题步骤 3.1.2.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = | \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}{(0) + 2} |$

解题步骤 3.1.2.1.3

从 $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{(0) + 2} |$

解题步骤 3.1.2.1.4

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 (0) + 2} |$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1} |$

解题步骤 3.1.2.1.4.3

从 $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

解题步骤 3.1.2.1.4.4

约去公因数。

$f (0) = | \frac{2 \cdot (0 - 1)}{2 \cdot (0 + 1)} |$

解题步骤 3.1.2.1.4.5

重写表达式。

$f (0) = | \frac{0 - 1}{0 + 1} |$

解题步骤 3.1.2.2

约去 $0 - 1$ 和 $0 + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1}{0 + 1} |$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{0 + 1} |$

解题步骤 3.1.2.2.3

从 $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

解题步骤 3.1.2.2.4

约去公因数。

$f (0) = | \frac{- 1 \cdot (0 + 1)}{0 + 1} |$

解题步骤 3.1.2.2.5

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$f (0) = | - 1 |$

解题步骤 3.1.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (0) = 1$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 3.2

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ 。在本例中，该点为 $(1, \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = | \frac{(1) - 2}{(1) + 2} |$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = | \frac{- 1}{1 + 2} |$

解题步骤 3.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = | \frac{- 1}{3} |$

解题步骤 3.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (1) = | - \frac{1}{3} |$

解题步骤 3.2.2.4

$- \frac{1}{3}$ 约为 $- 0.\overline{3}$ ，因其为负数，所以对 $- \frac{1}{3}$ 取反并去掉绝对值

$f (1) = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.2.2.5

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3

将 $x$ 的值 $3$ 代入 $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ 。在本例中，该点为 $(3, \frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = | \frac{(3) - 2}{(3) + 2} |$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (3) = | \frac{1}{3 + 2} |$

解题步骤 3.3.2.2

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f (3) = | \frac{1}{5} |$

解题步骤 3.3.2.3

$\frac{1}{5}$ 约为 $0.2$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (3) = \frac{1}{5}$

解题步骤 3.3.2.4

最终答案为 $\frac{1}{5}$ 。

$y = \frac{1}{5}$

解题步骤 3.4

将 $x$ 的值 $4$ 代入 $f (x) = | \frac{x - 2}{x + 2} |$ 。在本例中，该点为 $(4, \frac{1}{3})$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = | \frac{(4) - 2}{(4) + 2} |$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $(4) - 2$ 和 $(4) + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 - 2}{4 + 2} |$

解题步骤 3.4.2.1.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = | \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}{(4) + 2} |$

解题步骤 3.4.2.1.3

从 $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{(4) + 2} |$

解题步骤 3.4.2.1.4

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2} |$

解题步骤 3.4.2.1.4.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot 2 + 2 (1)} |$

解题步骤 3.4.2.1.4.3

从 $2 \cdot 2 + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

解题步骤 3.4.2.1.4.4

约去公因数。

$f (4) = | \frac{2 \cdot (2 - 1)}{2 \cdot (2 + 1)} |$

解题步骤 3.4.2.1.4.5

重写表达式。

$f (4) = | \frac{2 - 1}{2 + 1} |$

解题步骤 3.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (4) = | \frac{1}{2 + 1} |$

解题步骤 3.4.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (4) = | \frac{1}{3} |$

解题步骤 3.4.2.3

$\frac{1}{3}$ 约为 $0.\overline{3}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (4) = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.4.2.4

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.5

可以利用顶点附近的点 $(2, 0), (0, 1), (1, 0.33), (3, 0.2), (4, 0.33)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.33 \\ 2 & 0 \\ 3 & 0.2 \\ 4 & 0.33 \end{array}$

解题步骤 4

初等代数 示例

初等代数示例