初等代数示例

$2 (x^{2} + 6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$2 x^{2} + 2 (6 x) + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

解题步骤 1.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} + 12 x + 4 (y^{2} - 4 y) = 20$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} + 4 (- 4 y) = 20$

解题步骤 1.4

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y = 20$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $20$ 。

$2 x^{2} + 12 x + 4 y^{2} - 16 y - 20 = 0$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = 4$ 、 $b = - 16$ 和 $c = 2 x^{2} + 12 x - 20$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.4

化简。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.4.2

将 $12$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.4.3

将 $- 16$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.5

将 $256$ 和 $320$ 相加。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.6

从 $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ 中分解出因数 $32$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

从 $- 32 x^{2}$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.6.2

从 $- 192 x$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.6.3

从 $576$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.6.4

从 $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.6.5

从 $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.7

将 $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ 。

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解题步骤 5.1.7.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.7.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.7.4

添加圆括号。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.4

化简。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $12$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.4.3

将 $- 16$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.5

将 $256$ 和 $320$ 相加。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.6

从 $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ 中分解出因数 $32$ 。

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解题步骤 6.1.6.1

从 $- 32 x^{2}$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.6.2

从 $- 192 x$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.6.3

从 $576$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.6.4

从 $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.6.5

从 $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.7

将 $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ 。

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解题步骤 6.1.7.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.7.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.7.4

添加圆括号。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

解题步骤 6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 \cdot (2 x^{2} + 12 x - 20)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 16 (2 x^{2}) - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.4

化简。

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解题步骤 7.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 16 (12 x) - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $12$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x - 16 \cdot - 20}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.4.3

将 $- 16$ 乘以 $- 20$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 32 x^{2} - 192 x + 320}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.5

将 $256$ 和 $320$ 相加。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{- 32 x^{2} - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.6

从 $- 32 x^{2} - 192 x + 576$ 中分解出因数 $32$ 。

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解题步骤 7.1.6.1

从 $- 32 x^{2}$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) - 192 x + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.6.2

从 $- 192 x$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.6.3

从 $576$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.6.4

从 $32 (- x^{2}) + 32 (- 6 x)$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.6.5

从 $32 (- x^{2} - 6 x) + 32 (18)$ 中分解出因数 $32$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{32 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.7

将 $32 (- x^{2} - 6 x + 18)$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))$ 。

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解题步骤 7.1.7.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2) (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.7.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.7.4

添加圆括号。

$y = \frac{16 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (2 (- x^{2} - 6 x + 18))}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.8

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 \pm 2^{2} \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{8}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

解题步骤 7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$

解题步骤 9

因为已知方程 $y = \frac{4 + \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (- x^{2} - 6 x + 18)}}{2}$ 不能写成 $y = k x^{2}$ 的形式，所以 $y$ 不直接随 $x^{2}$ 变化。

$y$ 不直接随 $x$ 的变化而变化

初等代数 示例

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