线性代数示例

$a [\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $a$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} a \cdot 1 \\ a \cdot 2 \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} a \\ a \cdot 2 \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ a \cdot - 1 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $- 1$ 移到 $a$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - 1 \cdot a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 1 a$ 重写为 $- a$ 。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + b [\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.3

将 $b$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \cdot 1 \\ b \cdot 3 \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.4

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ b \cdot 3 \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3$ 移到 $b$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ b \cdot - 2 \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 2$ 移到 $b$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + c [\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.5

将 $c$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} c \cdot 3 \\ c \cdot 7 \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.6

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.1.6.1

将 $3$ 移到 $c$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ c \cdot 7 \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.6.2

将 $7$ 移到 $c$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ c \cdot - 4 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.1.6.3

将 $- 4$ 移到 $c$ 的左侧。

$[\begin{array}{c} a \\ 2 a \\ - a \end{array}] + [\begin{array}{c} b \\ 3 b \\ - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} a + b \\ 2 a + 3 b \\ - a - 2 b \end{array}] + [\begin{array}{c} 3 c \\ 7 c \\ - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 1.3

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} a + b + 3 c \\ 2 a + 3 b + 7 c \\ - a - 2 b - 4 c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

解题步骤 2

矩阵方程可表示为一组方程。

$a + b + 3 c = 0$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 3

将所有不包含 $a$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $b$ 。

$a + 3 c = - b$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $3 c$ 。

$a = - b - 3 c$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$2 a + 3 b + 7 c = 0$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的 $a$ 替换成 $- b - 3 c$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $- b - 3 c$ 替换 $2 a + 3 b + 7 c = 0$ 中所有出现的 $a$ .

$2 (- b - 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 $2 (- b - 3 c) + 3 b + 7 c$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

$2 (- b) + 2 (- 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 b + 2 (- 3 c) + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 4.2.1.1.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 b - 6 c + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$- 2 b - 6 c + 3 b + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 4.2.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 2 b$ 和 $3 b$ 相加。

$b - 6 c + 7 c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 6 c$ 和 $7 c$ 相加。

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- a - 2 b - 4 c = 0$

解题步骤 4.3

使用 $- b - 3 c$ 替换 $- a - 2 b - 4 c = 0$ 中所有出现的 $a$ .

$- (- b - 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 4.4

化简左边。

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解题步骤 4.4.1

化简 $- (- b - 3 c) - 2 b - 4 c$ 。

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解题步骤 4.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.1.1.1

运用分配律。

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 4.4.1.1.2

乘以 $- - b$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 4.4.1.1.2.2

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$b - (- 3 c) - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 4.4.1.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$b + 3 c - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$b + 3 c - 2 b - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 4.4.1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.4.1.2.1

从 $b$ 中减去 $2 b$ 。

$- b + 3 c - 4 c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 4.4.1.2.2

从 $3 c$ 中减去 $4 c$ 。

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

$- b - c = 0$

$b + c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 5

从等式两边同时减去 $c$ 。

$b = - c$

$- b - c = 0$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 6

将每个方程中所有出现的 $b$ 替换成 $- c$ 。

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解题步骤 6.1

使用 $- c$ 替换 $- b - c = 0$ 中所有出现的 $b$ .

$- (- c) - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 $- (- c) - c$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

乘以 $- (- c)$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 6.2.1.1.2

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$c - c = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 6.2.1.2

从 $c$ 中减去 $c$ 。

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - b - 3 c$

解题步骤 6.3

使用 $- c$ 替换 $a = - b - 3 c$ 中所有出现的 $b$ .

$a = - (- c) - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

解题步骤 6.4

化简右边。

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解题步骤 6.4.1

化简 $- (- c) - 3 c$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

乘以 $- (- c)$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a = 1 c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

解题步骤 6.4.1.1.2

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$a = c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = c - 3 c$

$0 = 0$

$b = - c$

解题步骤 6.4.1.2

从 $c$ 中减去 $3 c$ 。

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

$a = - 2 c$

$0 = 0$

$b = - c$

解题步骤 7

去掉方程组中总为真的所有方程式。

$a = - 2 c$

$b = - c$

线性代数 示例

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