有限数学示例

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $x^{4} - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.4.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.5

从 $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

从 $- 5 x^{3}$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

解题步骤 2.1.5.2

从 $- 25 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

解题步骤 2.1.5.3

从 $- 30$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

解题步骤 2.1.5.4

从 $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

解题步骤 2.1.5.5

从 $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.6

因数。

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解题步骤 2.1.6.1

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} - 5 x - 6$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.6.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

解题步骤 2.1.6.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.6.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 2.1.6.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 2.1.6.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 2.1.6.1.3.4

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 5 - 6$

解题步骤 2.1.6.1.3.5

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$6 - 6$

解题步骤 2.1.6.1.3.6

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 2.1.6.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

解题步骤 2.1.6.1.5

用 $- x^{3} - 5 x - 6$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.6.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

解题步骤 2.1.6.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

解题步骤 2.1.6.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.6.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 2.1.6.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 2.1.6.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 2.1.6.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 2.1.6.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

解题步骤 2.1.6.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 2.1.6.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 2.1.6.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

解题步骤 2.1.6.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 6$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

解题步骤 2.1.6.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

解题步骤 2.1.6.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} + x - 6$

解题步骤 2.1.6.1.6

将 $- x^{3} - 5 x - 6$ 书写为因数的集合。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.6.2

去掉多余的括号。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从 $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

从 $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.8

运用分配律。

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.9

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.1.9.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.9.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.11

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.12

运用分配律。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

解题步骤 2.1.13

化简。

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解题步骤 2.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

解题步骤 2.1.13.2

将 $5$ 乘以 $- 6$ 。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

解题步骤 2.1.14

从 $- x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

解题步骤 2.1.15

因数。

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解题步骤 2.1.15.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ 。

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解题步骤 2.1.15.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.15.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

解题步骤 2.1.15.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

解题步骤 2.1.15.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 6$ 来因式分解多项式。

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.15.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 5 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x^{2} = - 5$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

解题步骤 2.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 5}$ 。

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解题步骤 2.5.2.3.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (5)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 2.5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{5}$

解题步骤 2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{5}$

解题步骤 2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = - 1$ ( $1$ 的倍数)

$x = 6$ ( $1$ 的倍数)

$x = i \sqrt{5}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - i \sqrt{5}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 1$ ( $1$ 的倍数)

$x = 6$ ( $1$ 的倍数)

$x = i \sqrt{5}$ ( $1$ 的倍数)

$x = - i \sqrt{5}$ ( $1$ 的倍数)

解题步骤 3

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