有限数学示例

$y = 2 x + 3$

解题步骤 1

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}$

解题步骤 2

当 $x = 1$ 时，对 $\frac{2 x + 3}{x - 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$	$2$	$3$

解题步骤 2.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$	$2$	$3$

	$2$

解题步骤 2.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(2)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$1$	$2$	$3$
		$2$
	$2$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$2$	$3$
		$2$
	$2$	$5$

解题步骤 2.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 + \frac{5}{x - 1}$

解题步骤 3

因为 $1 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $1$ 是函数实根的上界。

上界： $1$

解题步骤 4

当 $x = \frac{1}{2}$ 时，对 $\frac{2 x + 3}{x - \frac{1}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$

解题步骤 4.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$

	$2$

解题步骤 4.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$
		$1$
	$2$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$2$	$3$
		$1$
	$2$	$4$

解题步骤 4.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 + \frac{4}{x - \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.6

化简商多项式。

$2 + \frac{8}{2 x - 1}$

解题步骤 5

因为 $\frac{1}{2} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $\frac{1}{2}$ 是函数实根的上界。

上界： $\frac{1}{2}$

解题步骤 6

当 $x = 3$ 时，对 $\frac{2 x + 3}{x - 3}$ 使用综合除法。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$3$	$2$	$3$

解题步骤 6.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$3$	$2$	$3$

	$2$

解题步骤 6.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(6)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$3$	$2$	$3$
		$6$
	$2$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$2$	$3$
		$6$
	$2$	$9$

解题步骤 6.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 + \frac{9}{x - 3}$

解题步骤 7

因为 $3 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $3$ 是函数实根的上界。

上界： $3$

解题步骤 8

当 $x = - 3$ 时，对 $\frac{2 x + 3}{x + 3}$ 使用综合除法。

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解题步骤 8.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 3$	$2$	$3$

解题步骤 8.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 3$	$2$	$3$

	$2$

解题步骤 8.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 3)$ 并将 $(- 6)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$- 3$	$2$	$3$
		$- 6$
	$2$

解题步骤 8.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$2$	$3$
		$- 6$
	$2$	$- 3$

解题步骤 8.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 + \frac{- 3}{x + 3}$

解题步骤 8.6

化简商多项式。

$2 - \frac{3}{x + 3}$

解题步骤 9

因为 $- 3 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- 3$ 是函数实根的下界。

下界： $- 3$

解题步骤 10

当 $x = \frac{3}{2}$ 时，对 $\frac{2 x + 3}{x - \frac{3}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 10.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$

解题步骤 10.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$

	$2$

解题步骤 10.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{3}{2})$ 并将 $(3)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$3$
	$2$

解题步骤 10.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$3$
	$2$	$6$

解题步骤 10.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2 + \frac{6}{x - \frac{3}{2}}$

解题步骤 10.6

化简商多项式。

$2 + \frac{12}{2 x - 3}$

解题步骤 11

因为 $\frac{3}{2} > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以 $\frac{3}{2}$ 是函数实根的上界。

上界： $\frac{3}{2}$

解题步骤 12

当 $x = - \frac{3}{2}$ 时，对 $\frac{2 x + 3}{x + \frac{3}{2}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 12.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$

解题步骤 12.2

将被除数 $(2)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$

	$2$

解题步骤 12.3

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(- 3)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$- 3$
	$2$

解题步骤 12.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$
		$- 3$
	$2$	$0$

解题步骤 12.5

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$2$

解题步骤 13

因为 $- \frac{3}{2} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以 $- \frac{3}{2}$ 是函数实根的下界。

下界： $- \frac{3}{2}$

解题步骤 14

确定上界与下界。

上界： $1, \frac{1}{2}, 3, \frac{3}{2}$

下界： $- 3, - \frac{3}{2}$

解题步骤 15

有限数学 示例

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