有限数学示例

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x - i y}$

解题步骤 1

要将 $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - i y}{x - i y}$ 。

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y}$

解题步骤 2

要将 $\frac{2}{x - i y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ 。

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x - i y}{x - i y}$ 。

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{2}{x - i y}$ 乘以 $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ 。

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{(x - i y) {(1 - i)}^{2}}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ 的因式。

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5

以因式分解的形式重写 $\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$ 。

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解题步骤 5.1

将 ${(1 + i)}^{2}$ 重写为 $(1 + i) (1 + i)$ 。

$\frac{(1 + i) (1 + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + i) (1 + i)$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$\frac{(1 (1 + i) + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.1.2

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.1.3

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(1 + i + i + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.1.4

乘以 $i i$ 。

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解题步骤 5.3.1.4.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i^{1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(1 + i + i + i^{1 + 1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(1 + i + i + i^{2}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(1 + i + i - 1) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{(0 + i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.3

将 $0$ 和 $i$ 相加。

$\frac{(i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.3.4

将 $i$ 和 $i$ 相加。

$\frac{2 i (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\frac{2 i x + 2 i (- i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.5

乘以 $2 i (- i y)$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 i x - 2 i (i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.5.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.5.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i^{1}) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 i x - 2 i^{1 + 1} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 i x - 2 i^{2} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{2 i x - 2 \cdot - 1 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.6.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.7

将 ${(1 - i)}^{2}$ 重写为 $(1 - i) (1 - i)$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 ((1 - i) (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.8

使用 FOIL 方法展开 $(1 - i) (1 - i)$ 。

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解题步骤 5.8.1

运用分配律。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 (1 - i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.8.2

运用分配律。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.8.3

运用分配律。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.9.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.2

将 $- i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.4

乘以 $- i (- i)$ 。

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解题步骤 5.9.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.4.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1}))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{1 + 1})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.4.6

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - 1)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (0 - i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.3

从 $0$ 中减去 $i$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.9.4

从 $- i$ 中减去 $i$ 。

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.10

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 i x + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.11

从 $2 i x + 2 y - 4 i$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.11.1

从 $2 i x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (i x) + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.11.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (i x) + 2 (y) - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.11.3

从 $- 4 i$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (i x) + 2 (y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.11.4

从 $2 (i x) + 2 (y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (i x + y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

解题步骤 5.11.5

从 $2 (i x + y) + 2 (- 2 i)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (i x + y - 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

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