微积分学示例

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 1

二次函数最小值出现在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 。如果 $a$ 是正数，则函数的最小值是 $f (- \frac{b}{2 a})$ 。

$f_{最小值}$ $x = a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 出现

解题步骤 2

求 $x = - \frac{b}{2 a}$ 的值。

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解题步骤 2.1

代入 $a$ 和 $b$ 的值。

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x = - \frac{1}{2 (1)}$

解题步骤 2.3

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$x = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3

计算 $f (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = a {(- \frac{1}{2})}^{2} + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = a ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{2}) = a ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = a (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2.1.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = a (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1}{2}) = a (\frac{1}{2^{2}}) + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{2}) = a (\frac{1}{4}) + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2.1.6

组合 $a$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{a}{4} + b (- \frac{1}{2}) + c$

解题步骤 3.2.1.7

组合 $b$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + c$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\frac{a}{4} - \frac{b}{2} + c$ 。

$\frac{a}{4} - \frac{b}{2} + c$

解题步骤 4

使用 $x$ 和 $y$ 的值求最小值出现的位置。

$(- \frac{1}{2}, \frac{a}{4} - \frac{b}{2} + c)$

解题步骤 5

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