微积分学示例

$\int (x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 5 \sqrt{x} - 3) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{3}} + 5 \sqrt{x} - 3 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 2 x^{\frac{2}{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 4

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 \int \sqrt{x} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 3 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 3 d x$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 3 x + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 3 x + C$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) + 5 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 3 x + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{6 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 3 x + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} - 3 x + C$

微积分学 示例