微积分学示例

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} [(- \sec (x)) - (- 2)] d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} (- \sec (x)) - (- 2) d x$

解题步骤 2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) + 2 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

解题步骤 5

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 2 d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- \frac{π}{3}$ 处的值。

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + 2 x]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

解题步骤 7.1.2

计算 $2 x$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $- \frac{π}{3}$ 处的值。

$- ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + (2 \frac{π}{3}) - 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 7.1.3

化简。

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解题步骤 7.1.3.1

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} - 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 7.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 7.1.3.3

组合 $2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.1.3.4

在公分母上合并分子。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{2 π + 2 π}{3}$

解题步骤 7.1.3.5

将 $2 π$ 和 $2 π$ 相加。

$- (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$- (\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.2.2

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- (\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |)) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.2.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- \ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

$2 + \sqrt{3}$ 约为 $3.7320508$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (- \frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.2

化简分母。

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解题步骤 7.3.2.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{5 π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.2.3

$\sec (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $2$ 。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (- \frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.2.4

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 + \tan (\frac{5 π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \tan (\frac{π}{3}) |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.2.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 2 - \sqrt{3} |}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.2.7

$2 - \sqrt{3}$ 约为 $0.26794919$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.3

要将 $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.4

组合 $- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) \cdot 3 + 4 π}{3}$

解题步骤 7.3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{- 3 \ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}) + 4 π}{3}$

小数形式：

$1.55487441 \dots$

微积分学 示例

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