微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x^{2}} + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x \sqrt{x^{2}} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{1}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [x^{1 + 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2$ 。

$2$

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