微积分学示例

$f (x) = x^{- \frac{5}{2}} + 2 x^{- 3} + 2 x + 4$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{- \frac{5}{2}} + 2 x^{- 3} + 2 x + 4 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{- \frac{5}{2}} d x + \int 2 x^{- 3} d x + \int 2 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- \frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{- 3} d x + \int 2 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{- 3} d x + \int 2 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 2 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 2 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 2 x d x + \int 4 d x$

解题步骤 8

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 \int x d x + \int 4 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C$

解题步骤 11.2

化简。

$- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + x^{2} + 4 x + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = x^{- \frac{5}{2}} + 2 x^{- 3} + 2 x + 4$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + x^{2} + 4 x + C$

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