微积分学示例

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

解题步骤 1

将 $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ 重写为 $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ 。

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3

计算左极限。

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解题步骤 3.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1.2.1.1

当 $θ$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $θ$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.2.1.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.2.3.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 3.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

解题步骤 3.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 3.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.2

根据加法法则， $1 - \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.3

因为 $1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $1$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ 。

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解题步骤 3.1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $- \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.4.2

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.5

从 $0$ 中减去 $\cos (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{- 2}$ 且 $g (θ) = \tan (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.6.3

使用 $\tan (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

解题步骤 3.1.3.7

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

解题步骤 3.1.3.8

化简。

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解题步骤 3.1.3.8.1

重新排序 $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ 的因式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 3.1.3.8.2

将 $\sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 3.1.3.8.3

对 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 运用乘积法则。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 3.1.3.8.4

一的任意次幂都为一。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 3.1.3.8.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 3.1.3.8.6

将负号移到分数的前面。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 3.1.3.8.7

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

解题步骤 3.1.3.8.8

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

解题步骤 3.1.3.8.9

对 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 运用乘积法则。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.3.8.10

约去 $\cos^{2} (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.8.10.1

将 $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ 中前置负号移到分子中。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.3.8.10.2

从 $\cos^{3} (θ)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.3.8.10.3

约去公因数。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.3.8.10.4

重写表达式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.3.8.11

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.3.8.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

解题步骤 3.1.5

合并因数。

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解题步骤 3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 3.1.5.3

组合 $\cos (θ)$ 和 $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 3.1.6

约去 $\cos (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.6.1

约去公因数。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 3.1.6.2

重写表达式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

解题步骤 3.2

计算极限值。

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解题步骤 3.2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $θ$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

解题步骤 3.2.2

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (θ)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

解题步骤 3.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

解题步骤 3.3

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.4

化简答案。

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解题步骤 3.4.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

解题步骤 3.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5

计算右极限。

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解题步骤 5.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.1.2.1.1

当 $θ$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $θ$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.2.1.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 5.1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.2.3.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

解题步骤 5.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

解题步骤 5.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 5.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.2

根据加法法则， $1 - \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.3

因为 $1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $1$ 对 $θ$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.4

计算 $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ 。

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解题步骤 5.1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $θ$ 是常数，所以 $- \sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数是 $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.4.2

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.5

从 $0$ 中减去 $\cos (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{- 2}$ 且 $g (θ) = \tan (θ)$ 。

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解题步骤 5.1.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.6.3

使用 $\tan (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

解题步骤 5.1.3.7

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

解题步骤 5.1.3.8

化简。

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解题步骤 5.1.3.8.1

重新排序 $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ 的因式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 5.1.3.8.2

将 $\sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 5.1.3.8.3

对 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 运用乘积法则。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 5.1.3.8.4

一的任意次幂都为一。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 5.1.3.8.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 5.1.3.8.6

将负号移到分数的前面。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

解题步骤 5.1.3.8.7

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

解题步骤 5.1.3.8.8

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

解题步骤 5.1.3.8.9

对 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 运用乘积法则。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 5.1.3.8.10

约去 $\cos^{2} (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.3.8.10.1

将 $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ 中前置负号移到分子中。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 5.1.3.8.10.2

从 $\cos^{3} (θ)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (θ)$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 5.1.3.8.10.3

约去公因数。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 5.1.3.8.10.4

重写表达式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 5.1.3.8.11

组合 $- 2$ 和 $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 5.1.3.8.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

解题步骤 5.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

解题步骤 5.1.5

合并因数。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 5.1.5.2

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 5.1.5.3

组合 $\cos (θ)$ 和 $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ 。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 5.1.6

约去 $\cos (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.6.1

约去公因数。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

解题步骤 5.1.6.2

重写表达式。

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

解题步骤 5.2

计算极限值。

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解题步骤 5.2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $θ$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

解题步骤 5.2.2

使用极限幂法则把 $\sin^{3} (θ)$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

解题步骤 5.2.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

解题步骤 5.3

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $θ$ 来计算 $θ$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

解题步骤 5.4

化简答案。

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解题步骤 5.4.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

解题步骤 5.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 5.4.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 6

因为左极限等于右极限，所以极限等于 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

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