微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} - 2 x + 3 & X < 2 \\ x - 3 & X \geq 2 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $2$ 时，求 $- 2 x + 3$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to 2^{-}} - 2 x + 3$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{x \to 2^{-}} 2 x + lim_{x \to 2^{-}} 3$

解题步骤 1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to 2^{-}} x + lim_{x \to 2^{-}} 3$

解题步骤 1.2.3

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$- 2 lim_{x \to 2^{-}} x + 3$

解题步骤 1.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 1.4

化简答案。

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解题步骤 1.4.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 4 + 3$

解题步骤 1.4.2

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$- 1$

解题步骤 2

计算 $x - 3$ 在 $2$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$(2) - 3$

解题步骤 2.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- 1$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $2$ 时， $- 2 x + 3$ 的极限等于 $x = 2$ 处的函数值，因此函数在 $x = 2$ 处连续。

连续

解题步骤 4

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