微积分学示例

$\sqrt{x y} = x^{2} y + 1$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x y}$ 重写成 ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x y)}^{\frac{1}{2}} = x^{2} y + 1$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x^{2} y + 1)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x y$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.6

合并分数。

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解题步骤 3.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.8

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 3.10

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (x y' + y)$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

对 $x y$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y' + y)$

解题步骤 3.11.2

运用分配律。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} (x y') + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3

合并项。

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解题步骤 3.11.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} y' + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.2

组合 $\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y'$ 。

$\frac{x y'}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x y' x^{- \frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.11.3.4.1

移动 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.4.2

将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.11.3.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.4.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} y$

解题步骤 3.11.3.5

组合 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$ 和 $y$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.11.3.6

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.11.3.7

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.11.3.7.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.11.3.7.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.11.3.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.11.3.7.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.11.3.7.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.11.3.7.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} y + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.2.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} y' + 2 y x + 0$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

将 $x^{2} y' + 2 y x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} y' + 2 y x$

解题步骤 4.4.2

重新排序项。

$x^{2} y' + 2 x y$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{2} y' + 2 x y$

解题步骤 6

求解 $x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}} y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{2} y' - 2 x y$ 中的因式重新排序。

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{2} y' - 2 x y = 0$

解题步骤 6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$

解题步骤 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ .

解题步骤 6.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 6.2.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 6.2.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 6.2.6

$2, 2, 1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2$

解题步骤 6.2.7

$y^{\frac{1}{2}}, x^{\frac{1}{2}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.2.8

$2 y^{\frac{1}{2}}, 2 x^{\frac{1}{2}}, 1, 1, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $2$ 乘以变量部分。

$2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{2} y' - 2 x y = 0$ 中的每一项乘以 $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{2} y' - 2 x y = 0$ 中的每一项乘以 $2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{2 y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.2.1.2.2

重写表达式。

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.3

约去 $y^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.3.1

从 $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y' x^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.2

约去公因数。

解题步骤 6.3.2.1.3.3

重写表达式。

$y' x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.4

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.4.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.4.3

在公分母上合并分子。

$y' x^{\frac{1 + 1}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' x^{\frac{2}{2}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.4.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y' x^{1} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.5

化简 $y' x^{1}$ 。

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$y' x + 2 \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.7.1

约去公因数。

解题步骤 6.3.2.1.7.2

重写表达式。

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.8

约去 $x^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.8.1

从 $y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' x + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.8.2

约去公因数。

解题步骤 6.3.2.1.8.3

重写表达式。

$y' x + y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.9

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.9.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x + y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.9.2

在公分母上合并分子。

$y' x + y^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.9.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' x + y^{\frac{2}{2}} - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.9.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$y' x + y^{1} - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.10

化简 $y^{1}$ 。

$y' x + y - x^{2} y' (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.11.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' x + y - (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) y' (2 y^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x + y - x^{\frac{1}{2} + 2} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.11.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y' x + y - x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.11.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y' x + y - x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.11.5

在公分母上合并分子。

$y' x + y - x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.11.6

化简分子。

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解题步骤 6.3.2.1.11.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y' x + y - x^{\frac{1 + 4}{2}} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.11.6.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y' x + y - x^{\frac{5}{2}} y' (2 y^{\frac{1}{2}}) - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x y (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.13

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.13.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{\frac{1}{2}} x) y (2 y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.13.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.13.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) y (2 y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2} + 1} y (2 y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.13.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} y (2 y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.13.4

在公分母上合并分子。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} y (2 y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.13.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} y (2 y^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.14

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.14.1

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y) \cdot 2 = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.14.2

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.14.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) \cdot 2 = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2 = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.14.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.14.4

在公分母上合并分子。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2 = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.14.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} \cdot 2 = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.1.15

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.2.2

将 $y' x + y - 2 x^{\frac{5}{2}} y' y^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ 中的因式重新排序。

$y' x + y - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

乘以 $0 (2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y' x + y - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0 (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $0$ 。

$y' x + y - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3.1.3

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' x + y - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0$

解题步骤 6.4

求解方程。

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解题步骤 6.4.1

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ 。

${(y' x^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 6.4.2

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ 。

${(y' x^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.4.3.1

化简 ${(y' x^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u$ 。

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解题步骤 6.4.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.3.1.1.1

在公分母上合并分子。

${(y' x^{\frac{3 + 3}{2}})}^{\frac{1}{3}} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

${(y' x^{\frac{6}{2}})}^{\frac{1}{3}} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.3

用 $6$ 除以 $2$ 。

${(y' x^{3})}^{\frac{1}{3}} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.4

对 $y' x^{3}$ 运用乘积法则。

${y'}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.5

将 ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.4.3.1.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${y'}^{\frac{1}{3}} x^{3 (\frac{1}{3})} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.1.1.5.2.1

约去公因数。

${y'}^{\frac{1}{3}} x^{3 (\frac{1}{3})} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.5.2.2

重写表达式。

${y'}^{\frac{1}{3}} x^{1} {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.6

化简。

${y'}^{\frac{1}{3}} x {(y^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.7

在公分母上合并分子。

${y'}^{\frac{1}{3}} x {(y^{\frac{3 + 3}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.8

将 $3$ 和 $3$ 相加。

${y'}^{\frac{1}{3}} x {(y^{\frac{6}{2}})}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.9

将 ${(y^{\frac{6}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.4.3.1.1.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${y'}^{\frac{1}{3}} x y^{\frac{6}{2} \cdot \frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.9.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.1.1.9.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

${y'}^{\frac{1}{3}} x y^{\frac{3 (2)}{2} \cdot \frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.9.2.2

约去公因数。

${y'}^{\frac{1}{3}} x y^{\frac{3 \cdot 2}{2} \cdot \frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.9.2.3

重写表达式。

${y'}^{\frac{1}{3}} x y^{\frac{2}{2}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.9.3

用 $2$ 除以 $2$ 。

${y'}^{\frac{1}{3}} x y^{1} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.1.10

化简。

${y'}^{\frac{1}{3}} x y - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.1.2

将 ${y'}^{\frac{1}{3}} x y - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u$ 中的因式重新排序。

$x y {y'}^{\frac{1}{3}} - 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = 0$

解题步骤 6.4.3.2

将所有不包含 $u$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.4.3.2.1

从等式两边同时减去 $x y {y'}^{\frac{1}{3}}$ 。

$- 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}} - 4 u = - x y {y'}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.4.3.2.2

在等式两边都加上 $2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 4 u = - x y {y'}^{\frac{1}{3}} + 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.4.3.3

将 $- 4 u = - x y {y'}^{\frac{1}{3}} + 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 6.4.3.3.1

将 $- 4 u = - x y {y'}^{\frac{1}{3}} + 2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 u}{- 4} = \frac{- x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{- 4} + \frac{2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{- 4}$

解题步骤 6.4.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 u}{- 4} = \frac{- x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{- 4} + \frac{2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{- 4}$

解题步骤 6.4.3.3.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{- 4} + \frac{2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{- 4}$

解题步骤 6.4.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.3.3.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$u = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} + \frac{2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{- 4}$

解题步骤 6.4.3.3.3.1.2

从 $2 y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} + \frac{2 (y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{- 4}$

解题步骤 6.4.3.3.3.1.3

约去公因数。

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解题步骤 6.4.3.3.3.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} + \frac{2 (y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 6.4.3.3.3.1.3.2

约去公因数。

$u = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} + \frac{2 (y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 6.4.3.3.3.1.3.3

重写表达式。

$u = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} + \frac{y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{- 2}$

解题步骤 6.4.3.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$u = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 6.4.4

代入 $y'$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{y' x^{\frac{5}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 7

将 $\frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{y' (x^{\frac{5}{2}}) y^{\frac{1}{2}}}{2}$ 中的因式重新排序。

$x^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{y^{\frac{1}{2}} y' (x^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 8

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y {y'}^{\frac{1}{3}}}{4} - \frac{y^{\frac{1}{2}} y' (x^{\frac{5}{2}})}{2}$

微积分学 示例

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