微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{8} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $x^{8} - 5 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

解题步骤 1.1.2

从 $- 5 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5}}{3 x^{4} + 4}$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

解题步骤 1.2

将 $x^{3} (x^{5} - 5)$ 重写为 $x^{2} (x (x^{5} - 5))$ 。

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解题步骤 1.2.1

因式分解出 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

解题步骤 1.2.2

添加圆括号。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (x (x^{5} - 5))}}{3 x^{4} + 4}$

解题步骤 1.3

从根式下提出各项。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{4}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $x \sqrt{x (x^{5} - 5)}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 3.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 3.2

约去 $x^{4}$ 的公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1} x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1 + 5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 4.2

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 5.3

从 $x^{6} - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 5.3.3

从 $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $- \sqrt{x^{6}} = x^{3}$ 。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 7

约去 $x^{3}$ 的公因数。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 8

约去公因数。

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解题步骤 8.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 9

计算极限值。

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解题步骤 9.1

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 9.2

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 9.3

将极限移入根号内。

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 10

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{5}$ 。

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11

计算极限值。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

约去 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.1.1.2

重写表达式。

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.2

约去 $x^{5}$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 11.6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 12

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{5}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 13

计算极限值。

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解题步骤 13.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 13.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 13.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 13.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

解题步骤 13.5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

解题步骤 14

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{4}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

用 $1 - 5 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 15.2

用 $- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ 除以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 15.3

化简分子。

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解题步骤 15.3.1

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 15.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \sqrt{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 15.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 4 \cdot 0}$

解题步骤 15.4

化简分母。

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解题步骤 15.4.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 0}$

解题步骤 15.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

解题步骤 15.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{3}$

解题步骤 15.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{3}$

小数形式：

$- 0.\overline{3}$

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