微积分学示例

$y = x^{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{x})$

解题步骤 2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

利用广义幂法则求导，即 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 为 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ，其中 $f = x$ 及 $g = x$ 。

$\frac{d}{d y} [x] (x \cdot x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{x - 1}$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{x - 1}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [x] (x^{1} x^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d y} [x] x^{1 + x - 1} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

解题步骤 3.2.2

合并 $1 + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{d}{d y} [x] x^{x + 0} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

解题步骤 3.2.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d}{d y} [x] x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x' x^{x} + \frac{d}{d y} [x] (x^{x} \ln (x))$

解题步骤 3.4

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$x' x^{x} + x' (x^{x} \ln (x))$

解题步骤 3.5

重新排序项。

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$

解题步骤 5

求解 $x'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$ 。

$x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x' = 1$

解题步骤 5.2

将 $x^{x} x' + x^{x} \ln (x) x'$ 中的因式重新排序。

$x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x) = 1$

解题步骤 5.3

从 $x' x^{x} + x' x^{x} \ln (x)$ 中分解出因数 $x' x^{x}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x' x^{x}$ 中分解出因数 $x' x^{x}$ 。

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

解题步骤 5.3.2

从 $x' x^{x} \ln (x)$ 中分解出因数 $x' x^{x}$ 。

$x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x) = 1$

解题步骤 5.3.3

从 $x' x^{x} \cdot 1 + x' x^{x} \ln (x)$ 中分解出因数 $x' x^{x}$ 。

$x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$

解题步骤 5.4

将 $x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ 中的每一项除以 $x^{x} (1 + \ln (x))$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x' x^{x} (1 + \ln (x)) = 1$ 中的每一项都除以 $x^{x} (1 + \ln (x))$ 。

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x' x^{x} (1 + \ln (x))}{x^{x} (1 + \ln (x))} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $1 + \ln (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x' (1 + \ln (x))}{1 + \ln (x)} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $x'$ 除以 $1$ 。

$x' = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{x} (1 + \ln (x))}$

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