微积分学示例

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

在 $0$ 处分解积分并写为极限之和。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 3

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{t}^{0}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 4

计算 $\arctan (x)$ 在 $0$ 处和在 $t$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

解题步骤 5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

解题步骤 6

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\arctan (x)]_{0}^{t}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

解题步骤 7

计算 $\arctan (x)$ 在 $t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

解题步骤 8.2

计算 $\arctan (0)$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

解题步骤 8.3

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，极限为 $- \frac{π}{2}$ 。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

解题步骤 8.4

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

解题步骤 8.5

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，极限为 $\frac{π}{2}$ 。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

解题步骤 8.6

计算 $\arctan (0)$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

解题步骤 8.7

化简答案。

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解题步骤 8.7.1

化简每一项。

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解题步骤 8.7.1.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

解题步骤 8.7.1.2

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $1$ 。

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

解题步骤 8.7.1.3

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

解题步骤 8.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

解题步骤 8.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π + π}{2}$

解题步骤 8.7.3

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 8.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 8.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$π$

小数形式：

$3.14159265 \dots$

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