微积分学示例

$\int_{0}^{6} [5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5}] d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{6} 5 (2^{- \frac{x}{3}}) - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{6} 5 \cdot 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 3

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{0}^{6} 2^{- \frac{x}{3}} d x + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 4

使 $u = - \frac{x}{3}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{3} d x$ ，以便 $- 3 d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = - \frac{x}{3}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $- \frac{x}{3}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{3}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = - \frac{x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - \frac{0}{3}$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = - \frac{x}{3}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - \frac{6}{3}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

用 $6$ 除以 $3$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

解题步骤 4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将两个负数相除得到一个正数。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 5.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{3}$ 。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot (1 \cdot 3) d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 5.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$5 \int_{0}^{- 2} - 2^{u} \cdot 3 d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 5.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \int_{0}^{- 2} - 3 \cdot 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 6

由于 $- 3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$5 (- 3 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 7

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$- 15 \int_{0}^{- 2} 2^{u} d u + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 8

$2^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ 。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) + \int_{0}^{6} - \frac{x}{5} d x$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \int_{0}^{6} \frac{x}{5} d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - (\frac{1}{5} \int_{0}^{6} x d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 15 (\frac{2^{u}}{\ln (2)}]_{0}^{- 2}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ 在 $- 2$ 处和在 $0$ 处的值。

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

解题步骤 12.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $6$ 处和在 $0$ 处的值。

$- 15 ((\frac{2^{- 2}}{\ln (2)}) - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 15 (\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 15 (\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.3

将 $\frac{\frac{1}{4}}{\ln (2)}$ 重写为乘积形式。

$- 15 (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.4

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (2)}$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{2^{0}}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.6

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $36$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{36}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.8

约去 $36$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.8.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.8.2.2

约去公因数。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.8.2.3

重写表达式。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (\frac{18}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.8.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

解题步骤 12.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 12.3.10

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 12.3.11

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} (18 + 0)$

解题步骤 12.3.12

将 $18$ 和 $0$ 相加。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{1}{5} \cdot 18$

解题步骤 12.3.13

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - 18 (\frac{1}{5})$

解题步骤 12.3.14

组合 $- 18$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) + \frac{- 18}{5}$

解题步骤 12.3.15

将负号移到分数的前面。

$- 15 (\frac{1}{4 \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

解题步骤 13

化简每一项。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$- 15 \frac{1}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

解题步骤 13.2

组合 $- 15$ 和 $\frac{1}{4 \ln (2)}$ 。

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} - 15 (- \frac{1}{\ln (2)}) - \frac{18}{5}$

解题步骤 13.3

乘以 $- 15 (- \frac{1}{\ln (2)})$ 。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 15$ 。

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + 15 \frac{1}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

解题步骤 13.3.2

组合 $15$ 和 $\frac{1}{\ln (2)}$ 。

$\frac{- 15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

解题步骤 13.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{15}{4 \ln (2)} + \frac{15}{\ln (2)} - \frac{18}{5}$

小数形式：

$12.63031921 \dots$

解题步骤 15

微积分学 示例

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