微积分学示例

$\int \tan^{3} (x) \sec^{6} (x) d x$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

把 $6$ 重写为 $4$ 加 $2$

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

解题步骤 1.2

将 ${\sec (x)}^{4 + 2}$ 重写为 $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 1.3

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \tan^{3} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 1.4

将 ${\sec (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$\int \tan^{3} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 3

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 3.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

解题步骤 4

展开 $u^{3} {(1 + u^{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(1 + u^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ 。

$\int u^{3} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int u^{3} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.6

运用分配律。

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.7

运用分配律。

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.8

移动 $u^{3}$ 。

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.9

将 $u^{3}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.10

将 $u^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (1 \cdot u^{2}) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.11

将 $u^{3}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + 1 \cdot u^{3} \cdot u^{2} + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

解题步骤 4.12

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.13

将 $u^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.14

将 $u^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} + u^{3 + 2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.16

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{3} + u^{5} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.17

将 $u^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3 + 2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.19

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

解题步骤 4.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

解题步骤 4.21

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

解题步骤 4.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5 + 2} d u$

解题步骤 4.23

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{7} d u$

解题步骤 4.24

将 $u^{5}$ 和 $u^{5}$ 相加。

$\int u^{3} + 2 u^{5} + u^{7} d u$

解题步骤 4.25

将 $2 u^{5}$ 和 $u^{7}$ 重新排序。

$\int u^{3} + u^{7} + 2 u^{5} d u$

解题步骤 4.26

移动 $u^{3}$ 。

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int u^{7} d u + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $u^{6}$ 。

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 10.2

化简。

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 11

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\tan^{8} (x)}{8} + \frac{\tan^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

解题步骤 12

重新排序项。

$\frac{1}{8} \tan^{8} (x) + \frac{1}{3} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

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