微积分学示例

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从 $16 x^{4} - 8 x^{2}$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

从 $16 x^{4}$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.1.2

从 $- 8 x^{2}$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.1.3

从 $8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)$ 中分解出因数 $8 x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.2

将 $8 x^{2} (2 x^{2} - 1)$ 重写为 ${(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 (2) x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.2.3

移动 $2$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.2.4

将 $2^{2} x^{2}$ 重写为 ${(2 x)}^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.2.5

添加圆括号。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 1.3

从根式下提出各项。

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

从 $2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2

通过相乘进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.5

从 $4 x^{2} - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.5.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} + 2 (- 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 3.5.3

从 $2 (2 x^{2}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $- \sqrt{x^{2}} = x$ 。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

约去 $x$ 的公因数。

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 5.2

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 5.3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 5.4

将极限移入根号内。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 5.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 7.1.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 7.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 7.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 9

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 9.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 9.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 9.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

解题步骤 9.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

用 $2 - 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.2

用 $- \sqrt{2 (2 - 0)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{2 (2 - 0)})}{1 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 - 2 \cdot 0}$

解题步骤 11.4

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.4.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 + 0}$

解题步骤 11.4.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}$

解题步骤 11.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.5.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 + 0)}}{1}$

解题步骤 11.5.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{2 \cdot 2}}{1}$

解题步骤 11.5.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{4}}{1}$

解题步骤 11.5.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2}}}{1}$

解题步骤 11.5.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 2 \cdot 2}{1}$

解题步骤 11.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 4}{1}$

解题步骤 11.7

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$- 4$

微积分学 示例

微积分学示例