微积分学示例

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

解题步骤 1

将 $y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ 书写为一个函数。

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{6}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.2.3

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$30 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$30 x^{5} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ 和 $0$ 相加。

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$

解题步骤 3

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 0.74790241$

解题步骤 4

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 0.74790241) \cup (- 0.74790241, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 0.74790241)$ 内的任一数字（例如 $- 3$ ）代入一阶导数 $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = 30 {(- 3)}^{5} - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (- 3) = 30 \cdot - 243 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

解题步骤 5.2.1.2

将 $30$ 乘以 $- 243$ 。

$f' (- 3) = - 7290 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 3) = - 7290 - 12 \cdot - 27 + 2$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $- 27$ 。

$f' (- 3) = - 7290 + 324 + 2$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 7290$ 和 $324$ 相加。

$f' (- 3) = - 6966 + 2$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 6966$ 和 $2$ 相加。

$f' (- 3) = - 6964$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 6964$ 。

$- 6964$

解题步骤 6

将区间 $(- 0.74790241, \infty)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 30 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3} + 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 30 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

解题步骤 6.2.1.2

将 $30$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

解题步骤 6.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 2$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 + 2$

解题步骤 6.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 + 2$

解题步骤 6.2.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f' (0) = 2$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 7

由于一阶导数在 $x = - 0.74790241$ 附近符号由负变为正，所以在 $x = - 0.74790241$ 处有一个拐点。

解题步骤 8

求 $- 0.74790241$ 的 y 坐标以求拐点。

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解题步骤 8.1

求 $f (- 0.74790241)$ 以求出 $- 0.74790241$ 的 y 坐标。

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解题步骤 8.1.1

使用表达式中的 $- 0.74790241$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.74790241) = 5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

解题步骤 8.1.2

化简 $5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

去掉圆括号。

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

解题步骤 8.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 8.1.2.2.1

对 $- 0.74790241$ 进行 $6$ 次方运算。

$5 \cdot 0.17501272 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

解题步骤 8.1.2.2.2

将 $5$ 乘以 $0.17501272$ 。

$0.8750636 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

解题步骤 8.1.2.2.3

对 $- 0.74790241$ 进行 $4$ 次方运算。

$0.8750636 - 3 \cdot 0.31288139 + 2 (- 0.74790241) - 9$

解题步骤 8.1.2.2.4

将 $- 3$ 乘以 $0.31288139$ 。

$0.8750636 - 0.93864419 + 2 (- 0.74790241) - 9$

解题步骤 8.1.2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 0.74790241$ 。

$0.8750636 - 0.93864419 - 1.49580483 - 9$

解题步骤 8.1.2.3

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 8.1.2.3.1

从 $0.8750636$ 中减去 $0.93864419$ 。

$- 0.06358059 - 1.49580483 - 9$

解题步骤 8.1.2.3.2

从 $- 0.06358059$ 中减去 $1.49580483$ 。

$- 1.55938542 - 9$

解题步骤 8.1.2.3.3

从 $- 1.55938542$ 中减去 $9$ 。

$- 10.55938542$

解题步骤 8.2

以点的形式写出 $x$ 和 $y$ 坐标。

$(- 0.74790241, - 10.55938542)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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