微积分学示例

$y = \tan (e^{x})$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (e^{x}))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\sec^{2} (e^{x}) e^{x}$

解题步骤 3.3

重新排序 $\sec^{2} (e^{x}) e^{x}$ 的因式。

$e^{x} \sec^{2} (e^{x})$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = e^{x} \sec^{2} (e^{x})$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sec^{2} (e^{x})$

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