微积分学示例

$y = x^{x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 3.1.1

将 $x^{x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

解题步骤 3.1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.5.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

约去公因数。

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5.2.2

重写表达式。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

解题步骤 3.5.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 3.6.2

将 $e^{x \ln (x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

解题步骤 3.6.3

重新排序项。

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

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