微积分学示例

$y = \cot^{2} (\sin (θ))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = θ^{2}$ 且 $g (θ) = \cot (\sin (θ))$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cot (\sin (θ))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

解题步骤 1.3

使用 $\cot (\sin (θ))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cot (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \cot (θ)$ 且 $g (θ) = \sin (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sin (θ)$ 。

$2 \cot (\sin (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

解题步骤 2.2

$\cot (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \csc^{2} (u_{2})$ 。

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (θ)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

解题步骤 3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \cot (\sin (θ)) (\csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

解题步骤 4

$\sin (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\cos (θ)$ 。

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$ 的因式。

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.2

将 $\csc (\sin (θ))$ 重写为正弦和余弦形式。

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (θ))})}^{2} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.3

对 $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ 运用乘积法则。

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.4

一的任意次幂都为一。

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.5

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ 。

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.7

组合 $\cos (θ)$ 和 $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ 。

$- \frac{\cos (θ) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.8

将 $2$ 移到 $\cos (θ)$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

解题步骤 5.9

将 $\cot (\sin (θ))$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$

解题步骤 5.10

乘以 $- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ 。

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解题步骤 5.10.1

将 $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ 乘以 $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ 。

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

解题步骤 5.10.2

通过指数相加将 $\sin (\sin (θ))$ 乘以 $\sin^{2} (\sin (θ))$ 。

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解题步骤 5.10.2.1

将 $\sin (\sin (θ))$ 乘以 $\sin^{2} (\sin (θ))$ 。

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解题步骤 5.10.2.1.1

对 $\sin (\sin (θ))$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{1} (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

解题步骤 5.10.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{{\sin (\sin (θ))}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.10.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

解题步骤 5.11

将 $2$ 移到 $\cos (\sin (θ))$ 的左侧。

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

解题步骤 5.12

从 $\sin^{3} (\sin (θ))$ 中分解出因数 $\sin (\sin (θ))$ 。

$- \frac{2 \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

解题步骤 5.13

分离分数。

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))})$

解题步骤 5.14

将 $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ 转换成 $\cot (\sin (θ))$ 。

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.15

从 $\sin^{2} (\sin (θ))$ 中分解出因数 $\sin (\sin (θ))$ 。

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.16

分离分数。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.17

将 $\frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.18

将 $\cos (θ)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\frac{\cos (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.19

化简。

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解题步骤 5.19.1

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.19.2

将 $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ 转换成 $\csc (\sin (θ))$ 。

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.20

分离分数。

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.21

将 $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ 转换成 $\csc (\sin (θ))$ 。

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.22

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- (2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.23

乘以 $2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ)))$ 。

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解题步骤 5.23.1

对 $\csc (\sin (θ))$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.23.2

对 $\csc (\sin (θ))$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc^{1} (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.23.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (2 {\csc (\sin (θ))}^{1 + 1} \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.23.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

解题步骤 5.24

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

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