微积分学示例

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

解题步骤 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

解题步骤 1.2.1.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

$1$ 列出各数的质因数。

解题步骤 1.2.1.4

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2 + y = 0$

解题步骤 1.2.1.5

$8$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.2.1.5.1

$8$ 具有因式 $2$ 和 $4$ 。

$2 \cdot 4$

解题步骤 1.2.1.5.2

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

解题步骤 1.2.1.6

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

Not $p r i m e + y = 0$

解题步骤 1.2.1.7

$4, 8, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

解题步骤 1.2.1.8

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 1.2.1.8.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 2 + y = 0$

解题步骤 1.2.1.8.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 + y = 0$

解题步骤 1.2.1.9

$x^{2}$ 的因数为 $x \cdot x$ ，即 $x$ 连续相乘 $2$ 次。

$x^{2} = x \cdot x$

解题步骤 1.2.1.10

$x^{2}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x \cdot x + y = 0$

解题步骤 1.2.1.11

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + y = 0$

解题步骤 1.2.1.12

$4, 8 x^{2}, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $8$ 乘以变量部分。

$8 x^{2} + y = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $8 x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $8 x^{2}$ 。

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.2

约去公因数。

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.3

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.3.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.5.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.5.2

约去公因数。

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.5.3

重写表达式。

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.6

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.6.1

约去公因数。

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.2.1.6.2

重写表达式。

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

乘以 $0 (8 x^{2})$ 。

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解题步骤 1.2.2.3.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$2 x^{6} + 1 = 0$

解题步骤 1.2.3

求解方程。

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解题步骤 1.2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x^{6} = - 1$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2 x^{6} = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $2 x^{6} = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.2.1.2

用 $x^{6}$ 除以 $1$ 。

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.3.4

化简 $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 重写为 $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{6}$ 。

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{6}$ 。

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.4

将 $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

解题步骤 1.2.3.4.6

组合 $i$ 和 $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ 。

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

解题步骤 1.2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

解题步骤 1.2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

解题步骤 1.2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

解题步骤 1.3

代入 $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

列出所有解。

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

解题步骤 2

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

解题步骤 3

用积分求 $1$ 和 $4$ 之间的面积。

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解题步骤 3.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

解题步骤 3.2

从 $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

解题步骤 3.3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

解题步骤 3.4

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

解题步骤 3.5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

解题步骤 3.6

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3.7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.7.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.7.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

解题步骤 3.8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

解题步骤 3.9

代入并化简。

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解题步骤 3.9.1

计算 $\frac{1}{5} x^{5}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

解题步骤 3.9.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3

化简。

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解题步骤 3.9.3.1

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $1024$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.6

从 $1024$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1023}{5}$ 。

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.8

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

解题步骤 3.9.3.10

一的任意次幂都为一。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

解题步骤 3.9.3.11

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

解题步骤 3.9.3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

解题步骤 3.9.3.13

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 3.9.3.14

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

解题步骤 3.9.3.15

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

解题步骤 3.9.3.16

要将 $\frac{1023}{20}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

解题步骤 3.9.3.17

要将 $\frac{3}{32}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.9.3.18

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $160$ 的形式。

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解题步骤 3.9.3.18.1

将 $\frac{1023}{20}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.9.3.18.2

将 $20$ 乘以 $8$ 。

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.9.3.18.3

将 $\frac{3}{32}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

解题步骤 3.9.3.18.4

将 $32$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

解题步骤 3.9.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

解题步骤 3.9.3.20

化简分子。

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解题步骤 3.9.3.20.1

将 $1023$ 乘以 $8$ 。

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

解题步骤 3.9.3.20.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{8184 + 15}{160}$

解题步骤 3.9.3.20.3

将 $8184$ 和 $15$ 相加。

$\frac{8199}{160}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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