微积分学示例

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

化简 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

化简。

$1 - x^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.2.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 1.3

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3

两条曲线所围成区域的面积为每一个区域上方曲线的积分减去下方曲线的积分。各区域由曲线的交点确定。可以通过代数方法或图像法来计算。

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

解题步骤 4

用积分求 $- 1$ 和 $1$ 之间的面积。

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解题步骤 4.1

将积分合并为一个单积分。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

解题步骤 4.2

从 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中减去 $0$ 。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

解题步骤 4.3

配方。

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解题步骤 4.3.1

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1.1

运用分配律。

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

解题步骤 4.3.1.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

解题步骤 4.3.1.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 4.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 4.3.1.2.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 4.3.1.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 - x + x + x (- x)$

解题步骤 4.3.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$1 - x + x - x \cdot x$

解题步骤 4.3.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$1 - x + x - (x \cdot x)$

解题步骤 4.3.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 - x + x - x^{2}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$1 + 0 - x^{2}$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - x^{2}$

解题步骤 4.3.1.3

将 $1$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + 1$

解题步骤 4.3.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

解题步骤 4.3.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.3.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.4.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.4.2.1.2

移动 $\frac{0}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 0$

解题步骤 4.3.4.2.2

将 $- 1 \cdot 0$ 重写为 $- 0$ 。

$d = - 0$

解题步骤 4.3.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$d = 0$

解题步骤 4.3.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.5.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 4.3.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

解题步骤 4.3.5.2.1.3

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$e = 1 - 0$

解题步骤 4.3.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 1 + 0$

解题步骤 4.3.5.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e = 1$

解题步骤 4.3.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + 0)}^{2} + 1$ 。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

解题步骤 4.4

使 $u_{1} = x + 0$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 4.4.1

设 $u_{1} = x + 0$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 4.4.1.1

对 $x + 0$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

解题步骤 4.4.1.2

根据加法法则， $x + 0$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

解题步骤 4.4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

解题步骤 4.4.1.4

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.4.2

将下限代入替换 $u_{1} = x + 0$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 1 + 0$

解题步骤 4.4.3

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 4.4.4

将上限代入替换 $u_{1} = x + 0$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 0$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.4.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

解题步骤 4.5

使 $u_{1} = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u_{1} = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

解题步骤 4.6

化简项。

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解题步骤 4.6.1

化简 $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

将 $- \sin^{2} (t)$ 和 $1$ 重新排序。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 4.6.1.2

使用勾股恒等式。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 4.6.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

解题步骤 4.6.2

化简。

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解题步骤 4.6.2.1

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

解题步骤 4.6.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

解题步骤 4.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 4.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 4.7

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 4.8

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 4.9

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 4.10

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

解题步骤 4.11

使 $u_{2} = 2 t$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.11.1

设 $u_{2} = 2 t$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 4.11.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 4.11.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.11.2

将下限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

解题步骤 4.11.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.3.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 4.11.3.2

约去公因数。

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

解题步骤 4.11.3.3

重写表达式。

$u_{lower} = - π$

解题步骤 4.11.4

将上限代入替换 $u_{2} = 2 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 4.11.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.5.1

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

解题步骤 4.11.5.2

重写表达式。

$u_{upper} = π$

解题步骤 4.11.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

解题步骤 4.11.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

解题步骤 4.12

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

解题步骤 4.13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 4.14

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

解题步骤 4.15

代入并化简。

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解题步骤 4.15.1

计算 $t$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $- \frac{π}{2}$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

解题步骤 4.15.2

计算 $\sin (u_{2})$ 在 $π$ 处和在 $- π$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 4.15.3

化简。

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解题步骤 4.15.3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 4.15.3.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 4.15.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.15.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

解题步骤 4.15.3.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

解题步骤 4.16

化简。

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解题步骤 4.16.1

化简每一项。

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解题步骤 4.16.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.16.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

解题步骤 4.16.1.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

解题步骤 4.16.1.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

解题步骤 4.16.1.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

解题步骤 4.16.1.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

解题步骤 4.16.1.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

解题步骤 4.16.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} (π + 0)$

解题步骤 4.16.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} π$

解题步骤 4.16.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $π$ 。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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