微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

解题步骤 1.2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

解题步骤 1.3.2

因为项 $20$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

解题步骤 1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

解题步骤 1.3.4

计算 $19$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

解题步骤 1.3.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{20 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{20 \cdot 1 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

解题步骤 1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.6.1.1

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{20 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

解题步骤 1.3.6.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 19}$

解题步骤 1.3.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{20 - 1 - 1 \cdot 19}$

解题步骤 1.3.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $19$ 。

$\frac{0}{20 - 1 - 19}$

解题步骤 1.3.6.2

从 $20$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{19 - 19}$

解题步骤 1.3.6.3

从 $19$ 中减去 $19$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

解题步骤 3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $20 x - x^{2} - 19$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [20 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $20 x$ 对 $x$ 的导数是 $20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

解题步骤 3.4.3

将 $20$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 19]}$

解题步骤 3.5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 19]}$

解题步骤 3.6

因为 $- 19$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 19$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + 0}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

将 $20 - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x}$

解题步骤 3.7.2

重新排序项。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x + 20}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 x + 20}$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{- 2 x + 20}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (- 2 x + 20)}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} - 2 x + 20}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 20)}$

解题步骤 10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 20)}$

解题步骤 11

计算 $20$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

解题步骤 12

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

解题步骤 13.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{- 2 \cdot 1 + 20}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 2 + 20}$

解题步骤 13.2.2

将 $- 2$ 和 $20$ 相加。

$\frac{1}{18}$

微积分学 示例

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