微积分学示例

$f (x) = x^{2} e^{2 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3.2

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$x^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$

解题步骤 1.4.2

将 $2 e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{2} e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2} e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2} e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.2.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1)$

解题步骤 2.3.9

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x})$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$2 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (x^{2} (e^{2 x})) + 2 (e^{2 x} (2 x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 (e^{2 x} (x)) + 2 (x (2 e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 e^{2 x} x + 4 (x (e^{2 x})) + 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3.4

将 $4 e^{2 x} x$ 和 $4 x e^{2 x}$ 相加。

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解题步骤 2.4.3.4.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$4 x^{2} e^{2 x} + 4 x e^{2 x} + 4 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.4.3.4.2

将 $4 x e^{2 x}$ 和 $4 x e^{2 x}$ 相加。

$4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$4 e^{2 x} x^{2} + 8 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$

解题步骤 2.4.5

将 $4 e^{2 x} x^{2} + 8 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 2 e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2} e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$4 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 (x^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.2.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}]$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [x e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.8

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.3.9

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

解题步骤 3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.4.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ 等于 $a^{u_{3}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.4.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

解题步骤 3.4.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

解题步骤 3.4.6

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 2 (2 \cdot e^{2 x})$

解题步骤 3.4.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x}) + e^{2 x}) + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$4 (x^{2} (2 e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.3

合并项。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 (x^{2} (e^{2 x})) + 4 (e^{2 x} (2 x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 (e^{2 x} (x)) + 8 (x (2 e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 e^{2 x} x + 16 (x (e^{2 x})) + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.3.4

将 $8 e^{2 x} x$ 和 $16 x e^{2 x}$ 相加。

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解题步骤 3.5.3.4.1

移动 $e^{2 x}$ 。

$8 x^{2} e^{2 x} + 8 x e^{2 x} + 16 x e^{2 x} + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.3.4.2

将 $8 x e^{2 x}$ 和 $16 x e^{2 x}$ 相加。

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 8 e^{2 x} + 4 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.3.5

将 $8 e^{2 x}$ 和 $4 e^{2 x}$ 相加。

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.4

重新排序项。

$8 e^{2 x} x^{2} + 24 e^{2 x} x + 12 e^{2 x}$

解题步骤 3.5.5

将 $8 e^{2 x} x^{2} + 24 e^{2 x} x + 12 e^{2 x}$ 中的因式重新排序。

$f''' (x) = 8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$

解题步骤 4

$f (x)$ 对 $x$ 的三阶导数是 $8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$ 。

$8 x^{2} e^{2 x} + 24 x e^{2 x} + 12 e^{2 x}$

微积分学 示例

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