微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{5 + 2 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 5 + 2 x$ 。

$f' (x) = \frac{(5 + 2 x) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (5 + 2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(5 + 2 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (5 + 2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 移到 $5 + 2 x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((5 + 2 x) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (5 + 2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $5 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (2 x))}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (2 x))}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} (2 x)}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - x^{2} (2 \frac{d}{d x} (x))}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - 2 x^{2} \frac{d}{d x} x}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - 2 x^{2} \cdot 1}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (5 + 2 x) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 5 + 2 (2 x)) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (5 x) + 2 (2 x) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = \frac{10 x + 2 (2 x) x - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{10 x + 2 (2 (x \cdot x)) - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{10 x + 2 (2 x^{2}) - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{10 x + 4 x^{2} - 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{10 x + 2 x^{2}}{{(5 + 2 x)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 10 x}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

从 $2 x^{2} + 10 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (x) + 10 x}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2

从 $10 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (x) + 2 x (5)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.3

从 $2 x (x) + 2 x (5)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{2}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x + 5)$ 且 $g (x) = {(2 x + 5)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 5)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{({(2 x + 5)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 2.3

将 ${({(2 x + 5)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 5)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2 \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 5)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 5$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x + 5) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (5)) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x + (x + 5) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x + (x + 5) \cdot 1) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $x + 5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (x + x + 5) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.5.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (2 x + 5) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.6

通过指数相加将 ${(2 x + 5)}^{2}$ 乘以 $2 x + 5$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 ${(2 x + 5)}^{2}$ 乘以 $2 x + 5$ 。

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解题步骤 2.6.1.1

对 $2 x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} (2 x + 5) - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2 + 1} - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) \frac{d}{d x} {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x + 5$ 。

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解题步骤 2.7.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x + 5$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) (2 u \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.7.3

使用 $2 x + 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - x (x + 5) (2 (2 x + 5) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.8

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{3} - 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.8.2

从 ${(2 x + 5)}^{3} - 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x + 5])$ 中分解出因数 $2 x + 5$ 。

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解题步骤 2.8.2.1

从 ${(2 x + 5)}^{3}$ 中分解出因数 $2 x + 5$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.8.2.2

从 $- 2 x (x + 5) ((2 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x + 5])$ 中分解出因数 $2 x + 5$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{2} + (2 x + 5) (- 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.8.2.3

从 $(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{2} + (2 x + 5) (- 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x + 5]))$ 中分解出因数 $2 x + 5$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) ({(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{{(2 x + 5)}^{4}})$

解题步骤 2.9

约去公因数。

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解题步骤 2.9.1

从 ${(2 x + 5)}^{4}$ 中分解出因数 $2 x + 5$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) ({(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.9.2

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x + 5) ({(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5)))}{(2 x + 5) {(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.9.3

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x + 5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.11

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.13

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 + \frac{d}{d x} (5))}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.14

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) (2 + 0)}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.15

合并分数。

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解题步骤 2.15.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 2 x (x + 5) \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.15.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 4 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{3}})$

解题步骤 2.15.3

组合 $2$ 和 $\frac{{(2 x + 5)}^{2} - 4 x (x + 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x + 5)}^{2} - 4 x (x + 5))}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16

化简。

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解题步骤 2.16.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x + 5)}^{2} - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x + 5)}^{2} + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3

化简分子。

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解题步骤 2.16.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.16.3.1.1

将 ${(2 x + 5)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 5) (2 x + 5)$ 。

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x + 5) (2 x + 5)) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 5) (2 x + 5)$ 。

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解题步骤 2.16.3.1.2.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5)) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.2.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x + 5)) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.2.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.16.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.16.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.16.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3.1.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 10 x + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3.1.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 5) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3.1.6

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 10 x + 10 x + 25) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.3.2

将 $10 x$ 和 $10 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 20 x + 25) + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 \cdot 25 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.5

化简。

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解题步骤 2.16.3.1.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (20 x) + 2 \cdot 25 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.5.2

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 2 \cdot 25 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.5.3

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 + 2 (- 4 x \cdot x) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.16.3.1.6.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 + 2 (- 4 (x \cdot x)) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.7

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} + 2 (- 4 x \cdot 5)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.8

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} + 2 (- 20 x)}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.1.9

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} - 40 x}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.2

合并 $8 x^{2} + 40 x + 50 - 8 x^{2} - 40 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.16.3.2.1

从 $8 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{40 x + 50 + 0 - 40 x}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.2.2

将 $40 x + 50$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{40 x + 50 - 40 x}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.2.3

从 $40 x$ 中减去 $40 x$ 。

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 2.16.3.2.4

将 $0$ 和 $50$ 相加。

$f'' (x) = \frac{50}{{(2 x + 5)}^{3}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{50}{{(2 x + 5)}^{3}}$ 。

$\frac{50}{{(2 x + 5)}^{3}}$

微积分学 示例

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