微积分学示例

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{9}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{9}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$9 u^{8} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$9 {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$9 {(x^{2} + 1)}^{8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x)$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 {(x^{2} + 1)}^{8} x$

解题步骤 1.2.4.3

重新排序 $18 {(x^{2} + 1)}^{8} x$ 的因式。

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 1)}^{8}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x {(x^{2} + 1)}^{8}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{8}]$ 。

$18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{8}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{8}$ 。

$18 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{8}] + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{8}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$18 (x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 8$ 。

$18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$18 (x (16 {(x^{2} + 1)}^{7} x) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 (x^{1} x (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$18 (x^{1} x^{1} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 ${(x^{2} + 1)}^{8}$ 乘以 $1$ 。

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

解题步骤 2.11.2

将 $16$ 乘以 $18$ 。

$288 (x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

解题步骤 2.11.3

从 $288 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{7} + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

从 $288 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{7}$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ 。

$18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

解题步骤 2.11.3.2

从 $18 {(x^{2} + 1)}^{8}$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ 。

$18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (x^{2} + 1)$

解题步骤 2.11.3.3

从 $18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ 。

$18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 1)$

解题步骤 2.11.4

将 $16 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $18 {(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)$ 。

$18 {(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)$

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