微积分学示例

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

将 $\frac{6}{x^{2} - 16}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6}{x^{2} - 16}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ 。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

解题步骤 2.1.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} - 16}$ 重写为 ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 16$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 16$ 。

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $x^{2} - 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

解题步骤 2.1.3.2

根据加法法则， $x^{2} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

解题步骤 2.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

解题步骤 2.1.3.4

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

解题步骤 2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 2.1.5

合并项。

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解题步骤 2.1.5.1

组合 $- 12$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 2.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 2.1.5.3

组合 $x$ 和 $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.1.5.4

将 $12$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ 。

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$12 x = 0$

解题步骤 3.3

将 $12 x = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $12 x = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.1.3

对 $(x + 4) (x - 4)$ 运用乘积法则。

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.3

将 ${(x + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

将 ${(x + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.2.3.2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 5.2.4

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.2.4.2.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 5.2.4.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 5.2.5

最终解为使 ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, 4$

解题步骤 5.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 4, x = 4$

解题步骤 6

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 7

将区间 $(- \infty, - 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $12$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.2

从 $25$ 中减去 $16$ 。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

解题步骤 7.2.2.3

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

解题步骤 7.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.2.3.1

约去 $- 60$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.1

从 $- 60$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

解题步骤 7.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.3.1.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

解题步骤 7.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

解题步骤 7.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

解题步骤 7.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

解题步骤 7.2.4

最终答案为 $\frac{20}{27}$ 。

$\frac{20}{27}$

解题步骤 7.3

在 $x = - 5$ 处，导数为 $\frac{20}{27}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 4)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 4)$ 上递增

解题步骤 8

将区间 $(- 4, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

将 $12$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.2

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

解题步骤 8.2.2.3

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

解题步骤 8.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 8.2.3.1

约去 $- 24$ 和 $144$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $24$ 。

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

解题步骤 8.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.2.3.1.2.1

从 $144$ 中分解出因数 $24$ 。

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

解题步骤 8.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

解题步骤 8.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

解题步骤 8.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

解题步骤 8.2.4

最终答案为 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 8.3

在 $x = - 2$ 处，导数为 $\frac{1}{6}$ 。由于其值为正，函数在 $(- 4, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- 4, 0)$ 上递增

解题步骤 9

将区间 $(0, 4)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $4$ 中减去 $16$ 。

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2.3

对 $- 12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

解题步骤 9.2.3

约去 $24$ 和 $144$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $24$ 中分解出因数 $24$ 。

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.2.1

从 $144$ 中分解出因数 $24$ 。

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

解题步骤 9.2.3.2.2

约去公因数。

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

解题步骤 9.2.3.2.3

重写表达式。

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

解题步骤 9.2.4

最终答案为 $- \frac{1}{6}$ 。

$- \frac{1}{6}$

解题步骤 9.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $- \frac{1}{6}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 4)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 4)$ 上递减

解题步骤 10

将区间 $(4, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

解题步骤 10.2.2.2

从 $25$ 中减去 $16$ 。

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

解题步骤 10.2.2.3

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

解题步骤 10.2.3

约去 $60$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $60$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

解题步骤 10.2.4

最终答案为 $- \frac{20}{27}$ 。

$- \frac{20}{27}$

解题步骤 10.3

在 $x = 5$ 处，导数为 $- \frac{20}{27}$ 。由于其值为负，函数在 $(4, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(4, \infty)$ 上递减

解题步骤 11

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

递减于： $(0, 4), (4, \infty)$

解题步骤 12

微积分学 示例

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