微积分学示例

$(2 - 2 x) e^{x}$

解题步骤 1

将 $(2 - 2 x) e^{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 - 2 x$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

解题步骤 2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

根据加法法则， $2 - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 2.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 2.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 相加。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.1.3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

解题步骤 2.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

解题步骤 2.1.3.6.2

将 $- 2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

运用分配律。

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

解题步骤 2.1.4.2

合并项。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $2 e^{x}$ 中减去 $2 e^{x}$ 。

$- 2 x e^{x} + 0$

解题步骤 2.1.4.2.2

将 $- 2 x e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x e^{x}$

解题步骤 2.1.4.3

重新排序 $- 2 x e^{x}$ 的因式。

$- 2 e^{x} x$

解题步骤 2.1.4.4

将 $- 2 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x e^{x}$ 。

$- 2 x e^{x}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x e^{x} = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$e^{x} = 0$

解题步骤 3.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 3.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.4.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 3.5

最终解为使 $- 2 x e^{x} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - 2 x e^{x}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

解题步骤 6.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

解题步骤 6.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{2}{e}$ 。

$\frac{2}{e}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $\frac{2}{e}$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - 2 e$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $- 2 e$ 。

$- 2 e$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- 2 e$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0)$

递减于： $(0, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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