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微积分学 示例
解题步骤 1
将 书写为一个函数。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
求一阶导数。
解题步骤 2.1.1
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.1.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 2.1.3
求微分。
解题步骤 2.1.3.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.3.2
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.1.3.3
将 和 相加。
解题步骤 2.1.3.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.3.5
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.1.3.6
化简表达式。
解题步骤 2.1.3.6.1
将 乘以 。
解题步骤 2.1.3.6.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.1.3.6.3
将 重写为 。
解题步骤 2.1.4
化简。
解题步骤 2.1.4.1
运用分配律。
解题步骤 2.1.4.2
合并项。
解题步骤 2.1.4.2.1
将 乘以 。
解题步骤 2.1.4.2.2
从 中减去 。
解题步骤 2.1.4.2.3
将 和 相加。
解题步骤 2.1.4.3
重新排序 的因式。
解题步骤 2.1.4.4
将 中的因式重新排序。
解题步骤 2.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 3
解题步骤 3.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 3.2
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于 。
解题步骤 3.3
将 设为等于 。
解题步骤 3.4
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 3.4.1
将 设为等于 。
解题步骤 3.4.2
求解 的 。
解题步骤 3.4.2.1
取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。
解题步骤 3.4.2.2
因为 无意义,所以方程无解。
无定义
解题步骤 3.4.2.3
无解
无解
无解
无解
解题步骤 3.5
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 4
使导数等于 的值为 。
解题步骤 5
求出让导数 等于 或无定义的点后,用来检验 在何处增加和在何处减少的区间即为 。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 6.2
化简结果。
解题步骤 6.2.1
将 乘以 。
解题步骤 6.2.2
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 6.2.3
最终答案为 。
解题步骤 6.3
在 处,导数为 。由于其值为正,函数在 上递增。
因为 ,所以函数在 上递增
因为 ,所以函数在 上递增
解题步骤 7
解题步骤 7.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 7.2
化简结果。
解题步骤 7.2.1
化简。
解题步骤 7.2.2
将 重写为 。
解题步骤 7.2.3
最终答案为 。
解题步骤 7.3
在 处,导数为 。由于其值为负,函数在 上递减。
因为 ,所以在 上递减
因为 ,所以在 上递减
解题步骤 8
列出函数在其上递增与递减的区间。
递增区间:
递减于:
解题步骤 9