微积分学示例

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

解题步骤 1

将 $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ 书写为一个函数。

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 9$ 且 $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ 。

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 18 x - 162$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ 。

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2.3

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2.5

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2.6

因为 $- 162$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 162$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2.7

将 $2 x - 18$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

解题步骤 2.1.2.8

根据加法法则， $x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

解题步骤 2.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

解题步骤 2.1.2.10

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

解题步骤 2.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.11.2

将 $x^{2} - 18 x - 162$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4

合并项。

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解题步骤 2.1.3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.5

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.6

将 $- 18$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.7

将 $- 9$ 乘以 $- 18$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.8

从 $- 18 x$ 中减去 $18 x$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

解题步骤 2.1.3.4.10

从 $- 36 x$ 中减去 $18 x$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

解题步骤 2.1.3.4.11

从 $162$ 中减去 $162$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

解题步骤 2.1.3.4.12

将 $3 x^{2} - 54 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 54 x$ 。

$3 x^{2} - 54 x$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 54 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 54 x = 0$

解题步骤 3.2

从 $3 x^{2} - 54 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) - 54 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 54 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $3 x (x) + 3 x (- 18)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x - 18) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 18 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 18$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 18$ 设为等于 $0$ 。

$x - 18 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $18$ 。

$x = 18$

解题步骤 3.6

最终解为使 $3 x (x - 18) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 18$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $0, 18$ 。

$0, 18$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 54$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = 3 + 54$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 和 $54$ 相加。

$f' (- 1) = 57$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $57$ 。

$57$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $57$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, 18)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $81$ 。

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 54$ 乘以 $9$ 。

$f' (9) = 243 - 486$

解题步骤 7.2.2

从 $243$ 中减去 $486$ 。

$f' (9) = - 243$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 243$ 。

$- 243$

解题步骤 7.3

在 $x = 9$ 处，导数为 $- 243$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 18)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 18)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(18, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $19$ 替换变量 $x$ 。

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $19$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

解题步骤 8.2.1.2

将 $3$ 乘以 $361$ 。

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 54$ 乘以 $19$ 。

$f' (19) = 1083 - 1026$

解题步骤 8.2.2

从 $1083$ 中减去 $1026$ 。

$f' (19) = 57$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $57$ 。

$57$

解题步骤 8.3

在 $x = 19$ 处，导数为 $57$ 。由于其值为正，函数在 $(18, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(18, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, 0), (18, \infty)$

递减于： $(0, 18)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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