微积分学示例

$\frac{x + 6}{x - 6}$

解题步骤 1

将 $\frac{x + 6}{x - 6}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 6$ 且 $g (x) = x - 6$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} (x + 6) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + \frac{d}{d x} (6)) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 6) (1 + 0) - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 6) \cdot 1 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.4.2

将 $x - 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.5

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.7

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6) \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x - 6 - (x + 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{x - 6 - x - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.2.1

合并 $x - 6 - x - 1 \cdot 6$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f' (x) = \frac{0 - 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2.1.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f' (x) = \frac{- 6 - 1 \cdot 6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f' (x) = \frac{- 6 - 6}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.2.3

从 $- 6$ 中减去 $6$ 。

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.1.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ 。

$- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{12}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

解题步骤 3.2

将分子设为等于零。

$12 = 0$

解题步骤 3.3

因为 $12 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 5

求导数无意义的位置。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 6)}^{2} = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 5.2.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 6

求出让导数 $f' (x) = - \frac{12}{{(x - 6)}^{2}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = \frac{x + 6}{x - 6}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$ 。

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 7

将区间 $(- \infty, 6)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (5) = - \frac{12}{{((5) - 6)}^{2}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简分母。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $5$ 中减去 $6$ 。

$f' (5) = - \frac{12}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (5) = - \frac{12}{1}$

解题步骤 7.2.2

化简表达式。

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解题步骤 7.2.2.1

用 $12$ 除以 $1$ 。

$f' (5) = - 1 \cdot 12$

解题步骤 7.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$f' (5) = - 12$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 7.3

在 $x = 5$ 处，导数为 $- 12$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 6)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 6)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(6, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = - \frac{12}{{((7) - 6)}^{2}}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简分母。

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解题步骤 8.2.1.1

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$f' (7) = - \frac{12}{1^{2}}$

解题步骤 8.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f' (7) = - \frac{12}{1}$

解题步骤 8.2.2

化简表达式。

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解题步骤 8.2.2.1

用 $12$ 除以 $1$ 。

$f' (7) = - 1 \cdot 12$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$f' (7) = - 12$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$- 12$

解题步骤 8.3

在 $x = 7$ 处，导数为 $- 12$ 。由于其值为负，函数在 $(6, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(6, \infty)$ 上递减

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, 6), (6, \infty)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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