微积分学示例

$x^{4} - 4 x^{3} + 5$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 4 x^{3} + 5$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 5$

解题步骤 2

求一阶导数。

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解题步骤 2.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{3} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

解题步骤 2.1.3.2

将 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 3

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2

从 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

解题步骤 3.2.3

从 $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 3.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 3.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.6

最终解为使 $4 x^{2} (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 的值为 $0, 3$ 。

$0, 3$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = - 4 - 12$

解题步骤 6.2.2

从 $- 4$ 中减去 $12$ 。

$f' (- 1) = - 16$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 16$ 。

$- 16$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- 16$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 3)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $\frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4.2

约去公因数。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4.3

重写表达式。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 7.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

解题步骤 7.2.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

解题步骤 7.2.1.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.8.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

解题步骤 7.2.1.8.2

约去公因数。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

解题步骤 7.2.1.8.3

重写表达式。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

解题步骤 7.2.1.9

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

解题步骤 7.2.2

要将 $- 27$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 7.2.3

组合 $- 27$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

解题步骤 7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.2.5.1

将 $- 27$ 乘以 $2$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

从 $27$ 中减去 $54$ 。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

解题步骤 7.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

解题步骤 7.2.7

最终答案为 $- \frac{27}{2}$ 。

$- \frac{27}{2}$

解题步骤 7.3

在 $x = \frac{3}{2}$ 处，导数为 $- \frac{27}{2}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, 3)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 3)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(3, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

通过指数相加将 $4$ 乘以 ${(4)}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1

将 $4$ 乘以 ${(4)}^{3}$ 。

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解题步骤 8.2.1.1.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = 256 - 192$

解题步骤 8.2.2

从 $256$ 中减去 $192$ 。

$f' (4) = 64$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $64$ 。

$64$

解题步骤 8.3

在 $x = 4$ 处，导数为 $64$ 。由于其值为正，函数在 $(3, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(3, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(3, \infty)$

递减于： $(- \infty, 0), (0, 3)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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