微积分学示例

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.3

约去公因数。

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.4

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $2 x \ln (x) + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.6.1

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2.6.2

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.2.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

解题步骤 1.1.2.4

化简。

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解题步骤 1.1.2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

解题步骤 1.1.2.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.2.4.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

解题步骤 1.1.2.4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 \ln (x) + 3$ 。

$2 \ln (x) + 3$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \ln (x) + 3 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \ln (x) + 3 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 \ln (x) = - 3$

解题步骤 1.2.3

将 $2 \ln (x) = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 \ln (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 1.2.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.5

使用对数的定义将 $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

解题步骤 1.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将方程重写为 $x = e^{- \frac{3}{2}}$ 。

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2

求 $f (x) = x^{2} \ln (x)$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x > 0$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0.11$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (0.11)$ 。

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

解题步骤 4.2.1.2

对 $0.11$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\ln (0.0121) + 3$ 。

$\ln (0.0121) + 3$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 上向下凹，因为 $f'' (0.11)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (3)$ 。

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

解题步骤 5.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $\ln (9) + 3$ 。

$\ln (9) + 3$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

微积分学 示例

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