微积分学示例

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 15 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 15$ 。

$f'' (x) = 60 x^{3} - 30 x$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $60 x^{3} - 30 x$ 。

$60 x^{3} - 30 x$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $60 x^{3} - 30 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$60 x^{3} - 30 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $60 x^{3} - 30 x$ 中分解出因数 $30 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $60 x^{3}$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$30 x (2 x^{2}) - 30 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 30 x$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $30 x (2 x^{2}) + 30 x (- 1)$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$30 x (2 x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2 x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.5.2.2

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

将 $2 x^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.5.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 1.2.5.2.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.5.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $30 x (2 x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = 60 {(- 3)}^{3} - 30 \cdot - 3$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3) = 60 \cdot - 27 - 30 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (- 3) = - 1620 - 30 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (- 3) = - 1620 + 90$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1620$ 和 $90$ 相加。

$f'' (- 3) = - 1530$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 1530$ 。

$- 1530$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上向下凹，因为 $f'' (- 3)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.35$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.35) = 60 {(- 0.35)}^{3} - 30 \cdot - 0.35$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.35$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.35) = 60 \cdot - 0.042875 - 30 \cdot - 0.35$

解题步骤 5.2.1.2

将 $60$ 乘以 $- 0.042875$ 。

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 - 30 \cdot - 0.35$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $- 0.35$ 。

$f'' (- 0.35) = - 2.5725 + 10.5$

解题步骤 5.2.2

将 $- 2.5725$ 和 $10.5$ 相加。

$f'' (- 0.35) = 7.9275$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $7.9275$ 。

$7.9275$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 0.35)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.35$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.35) = 60 {(0.35)}^{3} - 30 \cdot 0.35$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.35$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.35) = 60 \cdot 0.042875 - 30 \cdot 0.35$

解题步骤 6.2.1.2

将 $60$ 乘以 $0.042875$ 。

$f'' (0.35) = 2.5725 - 30 \cdot 0.35$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $0.35$ 。

$f'' (0.35) = 2.5725 - 10.5$

解题步骤 6.2.2

从 $2.5725$ 中减去 $10.5$ 。

$f'' (0.35) = - 7.9275$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 7.9275$ 。

$- 7.9275$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上向下凹，因为 $f'' (0.35)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = 60 {(3)}^{3} - 30 \cdot 3$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3) = 60 \cdot 27 - 30 \cdot 3$

解题步骤 7.2.1.2

将 $60$ 乘以 $27$ 。

$f'' (3) = 1620 - 30 \cdot 3$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 30$ 乘以 $3$ 。

$f'' (3) = 1620 - 90$

解题步骤 7.2.2

从 $1620$ 中减去 $90$ 。

$f'' (3) = 1530$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1530$ 。

$1530$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

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