微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 8 x + 41$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

解题步骤 1.1.1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $x^{2} - 8 x + 41$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 8 x + 41$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

解题步骤 1.1.1.2.5

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

解题步骤 1.1.1.2.6

因为 $41$ 对于 $x$ 是常数，所以 $41$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

解题步骤 1.1.1.2.7

将 $2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

重新排序 $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ 的因式。

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $2 x - 8$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

解题步骤 1.1.1.3.3

从 $2 x - 8$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.3.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

解题步骤 1.1.1.3.3.3

从 $2 x + 2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

解题步骤 1.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.4.2

将 $x^{2} - 8 x + 41$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.5

根据加法法则， $x^{2} - 8 x + 41$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.7

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.9

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.10

因为 $41$ 对于 $x$ 是常数，所以 $41$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.11

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.11.1

将 $2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

解题步骤 1.1.2.3.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.3.1.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.2

将 $2$ 乘以 $41$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 4) (2 x - 8)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.3.1.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.4.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.4

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.1.6

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.5.2

将 $8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.6

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.3.1.7.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.7.2

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.1.7.3

将 $2$ 乘以 $- 32$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.3

将 $- 16 x$ 和 $32 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.3.4

从 $82$ 中减去 $64$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.4.1

从 $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.4.1.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.1.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.1.3

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.1.4

从 $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.1.5

从 $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.4.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.4.2.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.2.1.2

把 $8$ 重写为 $- 1$ 加 $9$

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.2.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.4.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.4.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.6

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.7

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.8

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.9

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4.10

将 $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ 。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.1

将 $x - 9$ 设为等于 $0$ 。

$x - 9 = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$x = 9$

解题步骤 1.2.3.4

最终解为使 $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 9$

解题步骤 2

求 $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

把不等式转换成方程。

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

解题步骤 2.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 41$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $41$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.3

从 $64$ 中减去 $164$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.4

将 $- 100$ 重写为 $- 1 (100)$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (100)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.7

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.1.9

将 $10$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

解题步骤 2.2.4.3

化简 $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ 。

$x = 4 \pm 5 i$

解题步骤 2.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $41$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.3

从 $64$ 中减去 $164$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.4

将 $- 100$ 重写为 $- 1 (100)$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (100)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.7

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.1.9

将 $10$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

解题步骤 2.2.5.3

化简 $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ 。

$x = 4 \pm 5 i$

解题步骤 2.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 4 + 5 i$

解题步骤 2.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $41$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.3

从 $64$ 中减去 $164$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.4

将 $- 100$ 重写为 $- 1 (100)$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (100)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.7

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.1.9

将 $10$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

解题步骤 2.2.6.3

化简 $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ 。

$x = 4 \pm 5 i$

解题步骤 2.2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 4 - 5 i$

解题步骤 2.2.7

确定首项系数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.7.1

多项式的首项指的是次数最高的项。

$x^{2}$

解题步骤 2.2.7.2

多项式中的首项系数指的是首项的系数。

$1$

解题步骤 2.2.8

因为没有真正的 x 轴截距，且首项系数为正数，所以抛物线开口向上且 $x^{2} - 8 x + 41$ 总是大于 $0$ 。

所有实数

解题步骤 2.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3

从 $- 4$ 中减去 $9$ 。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $16$ 和 $32$ 相加。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $48$ 和 $41$ 相加。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

解题步骤 4.2.2.5

对 $89$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 6$ 乘以 $- 13$ 。

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $- \frac{78}{7921}$ 。

$- \frac{78}{7921}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间 $(- 1, 9)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

解题步骤 5.2.1.3

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2.4

将 $0$ 和 $41$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

解题步骤 5.2.2.5

对 $41$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

解题步骤 5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\frac{18}{1681}$ 。

$\frac{18}{1681}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, 9)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 1, 9)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(9, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $12$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

将 $12$ 和 $1$ 相加。

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $13$ 。

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $12$ 中减去 $9$ 。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 8$ 乘以 $12$ 。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

从 $144$ 中减去 $96$ 。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $48$ 和 $41$ 相加。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5

对 $89$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

解题步骤 6.2.3

将 $26$ 乘以 $3$ 。

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{78}{7921}$ 。

$- \frac{78}{7921}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(9, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (12)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(9, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 1, 9)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(9, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例