微积分学示例

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{6}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{6}{7}$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.5.2

从 $6$ 中减去 $7$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.6

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.6.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.6.2

组合 $\frac{6}{7}$ 和 ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ 。

$f' (x) = \frac{6 {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.1.7

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 1.1.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 1.1.1.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 1.1.1.10

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.10.2

将 $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.2.1.1

因为 $\frac{6}{7}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}})$

解题步骤 1.1.2.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1.2.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ 重写为 ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

解题步骤 1.1.2.1.2.2

将 ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{7} \cdot - 1})$

解题步骤 1.1.2.1.2.2.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}})$

解题步骤 1.1.2.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{- \frac{1}{7}})$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{1}{7}}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 4$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{7}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} u^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $- 1$ 中减去 $7$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.7.2

组合 ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

解题步骤 1.1.2.7.4

将 $\frac{6}{7}$ 乘以 $\frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{7 (7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.2.7.5

将 $7$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

解题步骤 1.1.2.8

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 1.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 1.1.2.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ 。

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$6 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $6 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求 $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt[7]{{(x + 4)}^{6}}$

解题步骤 2.2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

因为二阶导数是负数，所以图像向下凹。

图像向下凹

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例