微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

解题步骤 1

将左右极限改为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

解题步骤 2.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x^{2} + 2 x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

解题步骤 2.1.3

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{- \infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{- \infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{- \infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2} + 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 2 x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x^{2} + 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8

化简。

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解题步骤 2.3.8.1

重新排序 $\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ 的因式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8.2

从 $x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.3.8.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8.2.3

从 $x \cdot x + x \cdot 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8.3

将 $2 x + 2$ 乘以 $\frac{1}{x (x + 2)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8.4

从 $2 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.3.8.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8.4.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.8.4.3

从 $2 (x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 2.3.9

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

解题步骤 2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

解题步骤 3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

解题步骤 3.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

解题步骤 3.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$2 \frac{1}{0 + 2}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$1$

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